Determine uma solução para o problema
l ut=5 ux x em R=(x, t) in R^2 mid x in(0,3) e t>0 u(0, t)=u(3, t)=0 para todo t>0 u(x, 0)=x(3-x) para todo x in[0,3]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial que descreve como uma quantidade ut = 5 uxx varia no espaço e no tempo. Essa equação é conhecida como equação do calor:
Onde:
  • é a derivada de em relação ao tempo .
  • é a segunda derivada de em relação ao espaço .
O que precisamos para resolver:
  1. Condições de Contorno: para todo .
  2. Condição Inicial: para todo .
Vamos usar separação de variáveis e desenvolver uma série de Fourier para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de u(x, t) = X(x) T(t) e outra que depende apenas de X(x) T'(t) = 5 X''(x) T(t) :
T'(t)5 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para T'(t) + 5 lambda T(t) = 0 :
    T(t) = C e^-5 lambda t
    A solução geral é:
    X''(x) + lambda X(x) = 0
  2. Para :
    Com as condições de contorno .

Passo 4

Resolvendo a equação para lambdan = ( n pi3 )^2 para n = 1, 2, 3, dots , temos uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas. As soluções não triviais ocorrem quando:
Xn(x) = sin( n pi x3 )
E as funções próprias correspondentes são:

Passo 5

Então, combinando u(x, t) = sumn=1^infty Bn e^-5 ( n pi3 )^2 t sin( n pi x3 ) e , a solução geral da equação do calor é uma soma infinita de tais termos:
Onde são os coeficientes que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Para encontrar os coeficientes x(3 - x) = sumn=1^infty Bn sin( n pi x3 ) , usamos a condição inicial :
Essa é uma série de Fourier para a função no intervalo .

Passo 7

Os coeficientes Bn = 23 integral0^3 x(3 - x) sin( n pi x3 ) dx são dados por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 8

Resolvendo a integral:
Bn = 23 [ 6 (-1)^nn^3 pi^3 ] = 12 (-1)^n3 n^3 pi^3 = 4 (-1)^nn^3 pi^3

Passo 9

Substituindo u(x, t) = sumn=1^infty 4 (-1)^nn^3 pi^3 e^-5 ( n pi3 )^2 t sin( n pi x3 ) na solução geral:

Resposta

A solução para o problema é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty 4 (-1)^nn^3 pi^3 e^-5 ( n pi3 )^2 t sin( n pi x3 )

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