Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial que descreve como uma quantidade ut = 5 uxx varia no espaço e no tempo. Essa equação é conhecida como equação do calor:
Onde:
é a derivada de em relação ao tempo .
é a segunda derivada de em relação ao espaço .
O que precisamos para resolver:
Condições de Contorno: para todo .
Condição Inicial: para todo .
Vamos usar separação de variáveis e desenvolver uma série de Fourier para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de u(x, t) = X(x) T(t) e outra que depende apenas de X(x) T'(t) = 5 X''(x) T(t) :
T'(t)5 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 3
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para T'(t) + 5 lambda T(t) = 0 :
T(t) = C e^-5 lambda t
A solução geral é:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Para :
Com as condições de contorno .
Passo 4
Resolvendo a equação para lambdan = ( n pi3 )^2 para n = 1, 2, 3, dots , temos uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas. As soluções não triviais ocorrem quando:
Xn(x) = sin( n pi x3 )
E as funções próprias correspondentes são:
Passo 5
Então, combinando u(x, t) = sumn=1^infty Bn e^-5 ( n pi3 )^2 t sin( n pi x3 ) e , a solução geral da equação do calor é uma soma infinita de tais termos:
Onde são os coeficientes que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Para encontrar os coeficientes x(3 - x) = sumn=1^infty Bn sin( n pi x3 ) , usamos a condição inicial :
Essa é uma série de Fourier para a função no intervalo .
Passo 7
Os coeficientes Bn = 23 integral0^3 x(3 - x) sin( n pi x3 ) dx são dados por: