Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de três vetores e precisamos classificar esse conjunto como Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre a independência linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a única solução para a equação
é , então os vetores são LI. Caso contrário, eles são LD.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações a partir da combinação linear:
Note que a terceira equação é sempre verdadeira e não nos dá informação adicional.
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema formado pelas duas primeiras equações:
Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar o método da eliminação.
Passo 5
Multiplicando a primeira equação por 1 e a segunda por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, somamos as duas equações:
Passo 6
Agora, temos a equação . Podemos expressar em termos de :
Passo 7
Com em função de , substituímos na primeira equação para encontrar :
Passo 8
Observamos que existe uma solução não trivial para o sistema (isto é, existem valores de , , diferentes de zero que satisfazem as equações). Isso significa que os vetores são linearmente dependentes.