Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
(2,-1,0),(-1,3,0),(3,5,0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de três vetores (2,-1,0), (-1,3,0), (3,5,0) e precisamos classificar esse conjunto como Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre a independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a única solução para a equação
a(2,-1,0) + b(-1,3,0) + c(3,5,0) = (0,0,0)
é a = b = c = 0, então os vetores são LI. Caso contrário, eles são LD.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações a partir da combinação linear:
2a - b + 3c = 0 - a + 3b + 5c = 0 0a + 0b + 0c = 0
Note que a terceira equação é sempre verdadeira e não nos dá informação adicional.

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema formado pelas duas primeiras equações:
  1. 2a - b + 3c = 0
  2. -a + 3b + 5c = 0
Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar o método da eliminação.

Passo 5

Multiplicando a primeira equação por 1 e a segunda por 2 para facilitar a eliminação de a:
  1. 2a - b + 3c = 0
  2. -2a + 6b + 10c = 0
Agora, somamos as duas equações:
(2a - b + 3c) + (-2a + 6b + 10c) = 0 + 0 Rightarrow 5b + 13c = 0

Passo 6

Agora, temos a equação 5b + 13c = 0. Podemos expressar b em termos de c:
5b = -13c Rightarrow b = -135c

Passo 7

Com b em função de c, substituímos na primeira equação para encontrar a:
2a - (-135c) + 3c = 0 Rightarrow 2a + 135c + 3c = 0 Rightarrow 2a + 285c = 0 Rightarrow 2a = -285c Rightarrow a = -145c

Passo 8

Observamos que existe uma solução não trivial para o sistema (isto é, existem valores de a, b, c diferentes de zero que satisfazem as equações). Isso significa que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores (2,-1,0), (-1,3,0), (3,5,0) são Linearmente Dependentes (LD).

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