Calcule a norma de f in C([0,1], R) na norma dada por
|h|=raizintegral0^1 h(t)^2 d t
f(t)=1t+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a norma da função |h| = raizintegral0^1 h(t)^2 , dt definida no espaço . A norma que estamos usando aqui é dada por:
Então, vamos precisar entender como calcular integrais e aplicar essa fórmula para encontrar a norma de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é norma de uma função. Basicamente, a norma mede o “tamanho” ou “magnitude” da função dentro de um espaço específico. No nosso caso, a norma é calculada usando a raiz quadrada da integral do quadrado da função no intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função |f| = raizintegral0^1 (1t+1)^2 , dt na fórmula da norma. Temos:
Ou seja, precisamos calcular a integral de de 0 a 1.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral0^1 1(t+1)^2 , dt
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Sabemos que:
integral 1(t+1)^2 , dt = -1t+1 + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
[-1t+1]0^1 = -11+1 + 10+1 = -12 + 1 = 12

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral na fórmula da norma:
|f| = raiz12 = 1raiz2

Resposta

|f| = 1raiz2

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