Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
(g) ( ) Se
tem raio de convergência
, então as séries
e
também têm raio de convergência
.
(g) ( ) Se
Passo 1
Vamos analisar a seguinte afirmação: Se a série
tem raio de convergência
, então as séries
e
também têm raio de convergência
. O conteúdo envolvido aqui são séries de potências e o conceito de raio de convergência. Vamos utilizar o teste do raio de convergência e propriedades de séries derivadas e integradas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o raio de convergência
de uma série de potências
determina o intervalo onde a série converge. Esse raio pode ser encontrado usando o critério da raiz ou o critério da razão.
Passo 3
Agora, consideremos a primeira série:
. Observamos que esta série é a derivada da série original em relação a
. Sabemos que a derivada de uma série de potências dentro do seu intervalo de convergência também possui o mesmo raio de convergência. Portanto, o raio de convergência dessa série derivada é
.
Passo 4
Vamos analisar a segunda série:
. Essa série pode ser interpretada como a integral da série original em relação a
. A integral de uma série de potências dentro do seu intervalo de convergência preserva o raio de convergência original. Assim, a série integrada também terá raio de convergência
.
Resposta
(V) Verdadeiro. Ambas as séries derivada e integrada da série original mantêm o mesmo raio de convergência
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine:
c) analise a continuidade da função em .
c) analise a continuidade da função em
Fazer os gráficos das funções simples abaixo, ressaltando as mudanças de escala e translação:
Seja
. Calcule:
c) Calcule o vetor gradiente
c) Calcule o vetor gradiente
Fazer os gráficos das funções simples abaixo, ressaltando as mudanças de escala e translação: