Dada a função
, determine:
c) analise a continuidade da função em
.
c) analise a continuidade da função em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a continuidade da função
no ponto
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre limites e continuidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em
. Mas antes, precisamos ver se o limite existe quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
. Para isso, podemos usar coordenadas polares, que facilitam a análise de limites em várias direções.
Em coordenadas polares, temos:
Onde
e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende a 0.
Como
e
são sempre limitados entre -1 e 1, o produto
também é limitado. Portanto, o termo
vai depender principalmente de
, que está indo para 0.
Assim:
Isso significa que, independente do caminho que
tome para se aproximar de
, o limite será 0.
Passo 5
Agora, precisamos verificar o valor da função no ponto
. Porém, ao substituirmos
e
na função original:
Isso é indeterminado, ou seja, a função não está definida em
.
Passo 6
Para concluir a análise de continuidade, normalmente a função precisa estar definida no ponto. Mas, mesmo que definíssemos
, o limite que encontramos também é 0, o que satisfaria a condição de continuidade.
No entanto, como a função original não está definida em
, sem essa definição adicional, a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque não está definida nesse ponto.
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Fazer os gráficos das funções simples abaixo, ressaltando as mudanças de escala e translação:
Faça a tabela da função que leva
em
e desenhe o seu gráfico;
Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
(g) ( ) Se tem raio de convergência
, então as séries
e
também têm raio de convergência
.
(g) ( ) Se
Seja
. Calcule:
c) Calcule o vetor gradiente
c) Calcule o vetor gradiente