Classifique as variáveis aleatórias
a seguir como discreta ou continua e determine sua imagem
Seja
a distância de dois pontos quaisquer de um disco de raio 2 e centro na origem.
Seja
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória
que representa a distância entre dois pontos quaisquer dentro de um disco de raio 2 com centro na origem. Nosso objetivo é:
- Classificar
como uma variável discreta ou contínua. - Determinar a imagem
, ou seja, o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de variáveis discretas e contínuas, além de como determinar a imagem de uma variável aleatória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são variáveis discretas e contínuas:
- Variável Discreta: Assume um número finito ou contável de valores. Por exemplo, o número de alunos em uma sala.
- Variável Contínua: Pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo. Por exemplo, a altura de uma pessoa.
No nosso caso,
representa uma distância, que pode variar de forma contínua dentro do disco. Não estamos limitados a valores específicos; qualquer distância real dentro do intervalo permitido é possível.
Passo 3
Como
é uma distância que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo (de 0 até o máximo possível no disco), podemos concluir que
é uma variável aleatória contínua.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem
de
. A imagem de uma variável aleatória contínua é o conjunto de todos os valores que essa variável pode assumir.
Dentro de um disco de raio 2, a distância máxima entre dois pontos ocorre quando os pontos estão em extremos opostos do diâmetro. Essa distância será:
A distância mínima ocorre quando os dois pontos coincidem, ou seja,
.
Passo 5
Portanto, a imagem
é o intervalo de todas as distâncias possíveis entre dois pontos no disco, que vai de 0 a 4.
Resposta
A variável aleatória
é contínua e sua imagem é
.
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é uma f.d.p.
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Seja
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.