Classifique as variáveis aleatórias a seguir como discreta ou continua e determine sua imagem
Seja a distância de dois pontos quaisquer de um disco de raio 2 e centro na origem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que representa a distância entre dois pontos quaisquer dentro de um disco de raio 2 com centro na origem. Nosso objetivo é:
  1. Classificar como uma variável discreta ou contínua.
  2. Determinar a imagem , ou seja, o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de variáveis discretas e contínuas, além de como determinar a imagem de uma variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são variáveis discretas e contínuas:
  • Variável Discreta: Assume um número finito ou contável de valores. Por exemplo, o número de alunos em uma sala.
  • Variável Contínua: Pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo. Por exemplo, a altura de uma pessoa.
No nosso caso, representa uma distância, que pode variar de forma contínua dentro do disco. Não estamos limitados a valores específicos; qualquer distância real dentro do intervalo permitido é possível.

Passo 3

Como é uma distância que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo (de 0 até o máximo possível no disco), podemos concluir que é uma variável aleatória contínua.

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem de uma variável aleatória contínua é o conjunto de todos os valores que essa variável pode assumir.
Dentro de um disco de raio 2, a distância máxima entre dois pontos ocorre quando os pontos estão em extremos opostos do diâmetro. Essa distância será:
âá
A distância mínima ocorre quando os dois pontos coincidem, ou seja, .

Passo 5

Portanto, a imagem é o intervalo de todas as distâncias possíveis entre dois pontos no disco, que vai de 0 a 4.

Resposta

A variável aleatória é contínua e sua imagem é .

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