O tempo de produção de uma peça em minutos é uma v.a.c dada pela função
á
Mostre que é uma f.d.p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa o tempo de produção de uma peça, e queremos mostrar que ela é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Isso faz parte do estudo de probabilidade e variáveis aleatórias contínuas. Para provar que é uma f.d.p., precisamos verificar duas coisas principais:
  1. Não-negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero para todo valor de .
  2. Integral total igual a 1: A área sob a curva de deve ser igual a 1.
Vamos checar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é não negativa em todo o seu domínio. Olhando para a expressão:
á
Para :
Vamos analisar os valores de nesse intervalo:
  • Quando :
  • Quando :
Como diminui de 3 para 1 conforme aumenta de 2 para 4, permanece sempre positivo nesse intervalo. Fora desse intervalo, , que também é não negativo. Portanto, a função é sempre maior ou igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de em todo o domínio para verificar se ela é igual a 1. A integral de uma f.d.p. deve ser 1 porque representa a totalidade das probabilidades.
Calculando a integral:
As duas últimas integrais são iguais a zero, então foca na primeira:
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração:
A integral total é igual a 1, como precisava!

Resposta

Assim, verificamos que é uma função densidade de probabilidade, já que é não negativa em todo o domínio e sua integral total é igual a 1.

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