O tempo de produção de uma peça em minutos é uma v.a.c X dada pela função
f(x)= 5-x4, & se 2á
Mostre que f(x) é uma f.d.p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa o tempo de produção de uma peça, e queremos mostrar que ela é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Isso faz parte do estudo de probabilidade e variáveis aleatórias contínuas. Para provar que é uma f.d.p., precisamos verificar duas coisas principais:
  1. Não-negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero para todo valor de .
  2. Integral total igual a 1: A área sob a curva de deve ser igual a 1.
Vamos checar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(x) = 5 - x4, & se 2 < x < 4 0, & caso contrário é não negativa em todo o seu domínio. Olhando para a expressão:
5 - x4 á
Para :
Vamos analisar os valores de nesse intervalo:
  • Quando :
  • Quando :
Como diminui de 3 para 1 conforme aumenta de 2 para 4, permanece sempre positivo nesse intervalo. Fora desse intervalo, , que também é não negativo. Portanto, a função é sempre maior ou igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de integral-infty^+infty f(x) , dx = integral2^4 5 - x4 , dx + integral-infty^2 0 , dx + integral4^+infty 0 , dx em todo o domínio para verificar se ela é igual a 1. A integral de uma f.d.p. deve ser 1 porque representa a totalidade das probabilidades.
Calculando a integral:
integral2^4 5 - x4 , dx = 14 integral2^4 (5 - x) , dx
As duas últimas integrais são iguais a zero, então foca na primeira:
integral (5 - x) , dx = 5x - x^22
Vamos resolver a integral:
14 [ (5 times 4 - 4^22) - (5 times 2 - 2^22) ] = 14 [ (20 - 8) - (10 - 2) ] = 14 [ 12 - 8 ] = 14 times 4 = 1
Aplicando os limites de integração:
A integral total é igual a 1, como precisava!

Resposta

Assim, verificamos que é uma função densidade de probabilidade, já que é não negativa em todo o domínio e sua integral total é igual a 1.

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