O tempo de produção de uma peça em minutos é uma v.a.c
dada pela função
Mostre que
é uma f.d.p.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que representa o tempo de produção de uma peça, e queremos mostrar que ela é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Isso faz parte do estudo de probabilidade e variáveis aleatórias contínuas. Para provar que
é uma f.d.p., precisamos verificar duas coisas principais:
- Não-negatividade: A função
deve ser maior ou igual a zero para todo valor de . - Integral total igual a 1: A área sob a curva de
deve ser igual a 1.
Vamos checar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é não negativa em todo o seu domínio. Olhando para a expressão:
Para
:
Vamos analisar os valores de
nesse intervalo:
- Quando
: - Quando
:
Como
diminui de 3 para 1 conforme
aumenta de 2 para 4,
permanece sempre positivo nesse intervalo. Fora desse intervalo,
, que também é não negativo. Portanto, a função
é sempre maior ou igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de
em todo o domínio para verificar se ela é igual a 1. A integral de uma f.d.p. deve ser 1 porque representa a totalidade das probabilidades.
Calculando a integral:
As duas últimas integrais são iguais a zero, então foca na primeira:
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração:
A integral total é igual a 1, como precisava!
Resposta
Assim, verificamos que
é uma função densidade de probabilidade, já que é não negativa em todo o domínio e sua integral total é igual a 1.
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