Considere uma v.a.c X com f.d.p dada por
f(x)= 2 x, & se 0á
Determine a f.d.a F(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua f(x) = 2x, & se 0 < x < 1 0, & caso contrário com uma função densidade de probabilidade (f.d.p) definida por:
á
Nosso objetivo aqui é encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, já que a f.d.a é a integral da f.d.p.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt . Ela nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor :
No nosso caso, a f.d.p é diferente de zero apenas entre 0 e 1. Então, vamos dividir em três casos para calcular a integral: quando , entre e , e quando .

Passo 3

Primeiro, para F(x) = 0 :
Como nesse intervalo, a integral também será zero:

Passo 4

Agora, para F(x) = integral0^x 2t , dt = 2 integral0^x t , dt :
Aqui, vamos integrar integral t , dt = t^22 + C de 0 até F(x) = 2 [ x^22 - 0^22 ] = 2 ( x^22 ) = x^2 :
Integrando em relação a :
Aplicando os limites:

Passo 5

Por último, para F(x) = 1 :
A probabilidade acumulada já atingiu o total, já que toda a área da f.d.p está entre 0 e 1. Então:

Resposta

A função de distribuição acumulada F(x) = 0, & se x < 0 x^2, & se 0 <= x < 1 1, & se x >= 1 é dada por:

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