Considere uma v.a.c
com f.d.p dada por
Determine a f.d.a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua
com uma função densidade de probabilidade (f.d.p) definida por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a)
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, já que a f.d.a é a integral da f.d.p.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada
. Ela nos dá a probabilidade de que a variável aleatória
seja menor ou igual a um certo valor
:
No nosso caso, a f.d.p
é diferente de zero apenas entre 0 e 1. Então, vamos dividir em três casos para calcular a integral: quando
, entre
e
, e quando
.
Passo 3
Primeiro, para
:
Como nesse intervalo, a integral também será zero:
Como
Passo 4
Agora, para
:
Aqui, vamos integrar de 0 até
:
Aqui, vamos integrar
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites:
Passo 5
Por último, para
:
A probabilidade acumulada já atingiu o total, já que toda a área da f.d.p está entre 0 e 1. Então:
A probabilidade acumulada já atingiu o total, já que toda a área da f.d.p está entre 0 e 1. Então:
Resposta
A função de distribuição acumulada
é dada por: