O tempo de produção de uma peça em minutos é uma v.a.c dada pela função
á
Calcule a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça escolhida ao acaso seja menor que 3 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de produção de uma peça, representado por uma variável aleatória contínua . A função de densidade de probabilidade está definida para como e zero em outros casos. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente leve menos de 3 minutos para ser produzida. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de estar em um intervalo específico é a área sob a curva da função de densidade nesse intervalo. No nosso caso, queremos , ou seja, a probabilidade de ser menor que 3 minutos.

Passo 3

Como a função é definida apenas para , vamos integrar de 2 até 3 para encontrar essa probabilidade. Isso porque, antes de 2 minutos e após 4 minutos, a função de densidade é zero, então não contribuem para a probabilidade.

Passo 4

Vamos escrever a integral que representa :
Aqui, estamos basicamente somando todas as pequenas probabilidades de estar entre 2 e 3 minutos.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, podemos fatorar o para simplificar:
Em seguida, integramos em relação a .

Passo 6

A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, os limites vão eliminar o .

Passo 7

Aplicando os limites de 2 a 3:

Passo 8

Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo que havíamos fatorado:

Resposta

A probabilidade de que o tempo de produção de uma peça escolhida ao acaso seja menor que 3 minutos é 0,625 ou 62,5%.

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á
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á
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