O tempo de produção de uma peça em minutos é uma v.a.c
dada pela função
Calcule a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça escolhida ao acaso seja menor que 3 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de produção de uma peça, representado por uma variável aleatória contínua
. A função de densidade de probabilidade
está definida para
como
e zero em outros casos. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente leve menos de 3 minutos para ser produzida. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de
estar em um intervalo específico é a área sob a curva da função de densidade
nesse intervalo. No nosso caso, queremos
, ou seja, a probabilidade de
ser menor que 3 minutos.
Passo 3
Como a função
é definida apenas para
, vamos integrar de 2 até 3 para encontrar essa probabilidade. Isso porque, antes de 2 minutos e após 4 minutos, a função de densidade é zero, então não contribuem para a probabilidade.
Passo 4
Vamos escrever a integral que representa
:
Aqui, estamos basicamente somando todas as pequenas probabilidades de
estar entre 2 e 3 minutos.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, podemos fatorar o
para simplificar:
Em seguida, integramos
em relação a
.
Passo 6
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, os limites vão eliminar o
.
Passo 7
Aplicando os limites de 2 a 3:
Passo 8
Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo
que havíamos fatorado:
Resposta
A probabilidade de que o tempo de produção de uma peça escolhida ao acaso seja menor que 3 minutos é 0,625 ou 62,5%.
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Seja
O tempo de produção de uma peça em minutos é uma v.a.c
dada pela função
Mostre que
é uma f.d.p.
Considere uma v.a.c
com f.d.p dada por
Determine a f.d.a
.
Considere uma v.a.c
com f.d.p dada por
Use a função
para calcular
e