O tempo de produção de uma peça em minutos é uma v.a.c X dada pela função
f(x)= 5-x4, & se 2á
Calcule a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça escolhida ao acaso seja menor que 3 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de produção de uma peça, representado por uma variável aleatória contínua . A função de densidade de probabilidade está definida para como e zero em outros casos. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente leve menos de 3 minutos para ser produzida. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de estar em um intervalo específico é a área sob a curva da função de densidade nesse intervalo. No nosso caso, queremos , ou seja, a probabilidade de ser menor que 3 minutos.

Passo 3

Como a função é definida apenas para , vamos integrar de 2 até 3 para encontrar essa probabilidade. Isso porque, antes de 2 minutos e após 4 minutos, a função de densidade é zero, então não contribuem para a probabilidade.

Passo 4

Vamos escrever a integral que representa P(X < 3) = integral2^3 f(x) , dx = integral2^3 5 - x4 , dx :
Aqui, estamos basicamente somando todas as pequenas probabilidades de estar entre 2 e 3 minutos.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, podemos fatorar o P(X < 3) = 14 integral2^3 (5 - x) , dx para simplificar:
Em seguida, integramos em relação a .

Passo 6

A integral de integral (5 - x) , dx = 5x - x^22 + C em relação a é:
onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, os limites vão eliminar o .

Passo 7

Aplicando os limites de 2 a 3:
[5x - x^22]2^3 = (5(3) - 3^22) - (5(2) - 2^22) = (15 - 4.5) - (10 - 2) = 10.5 - 8 = 2.5

Passo 8

Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo P(X < 3) = 14 times 2.5 = 0.625 que havíamos fatorado:

Resposta

A probabilidade de que o tempo de produção de uma peça escolhida ao acaso seja menor que 3 minutos é 0,625 ou 62,5%.

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