Calcule a integral a seguir: (valor: 1,0 ponto)
integral x sen x cos x e^-x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Isso envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração como substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas e exponenciais, além da técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão trigonométrica . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica:
Podemos rearranjar para obter:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Precisamos escolher u = x Rightarrow du = dx e dv = sen(2x) e^-x , dx Rightarrow v = ? . Vamos deixar:

Passo 4

Para encontrar integral e^ax sen(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 (a sen(bx) - b cos(bx)) + C , precisamos integrar . Isso também requer integração por partes ou uma técnica de integração mais avançada, mas podemos usar a fórmula de integração para produtos de funções exponenciais e trigonométricas:
Aqui, v = e^-x(-1)^2 + 2^2 (-1 sen(2x) - 2 cos(2x)) = e^-x1 + 4 (-sen(2x) - 2 cos(2x)) = e^-x5 (-sen(2x) - 2 cos(2x)) e , então:

Passo 5

Agora que temos integral u , dv = u v - integral v , du , integral x sen(2x) e^-x , dx = x cdot e^-x5 (-sen(2x) - 2 cos(2x)) - integral e^-x5 (-sen(2x) - 2 cos(2x)) , dx , = -x e^-x5 (sen(2x) + 2 cos(2x)) + 15 integral e^-x (sen(2x) + 2 cos(2x)) , dx , vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Podemos separar em duas integrais:
Usando a fórmula mencionada anteriormente para cada uma:
Para :
Para integral e^-x sen(2x) , dx + 2 integral e^-x cos(2x) , dx :
Somando as duas partes:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, lembrando que a nossa integral original tinha um fator 12 ( -x e^-x5 (sen(2x) + 2 cos(2x)) + e^-x25 (3 sen(2x) - 4 cos(2x)) ) + C , multiplicamos tudo por -x e^-x10 (sen(2x) + 2 cos(2x)) + e^-x50 (3 sen(2x) - 4 cos(2x)) + C :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:
onde -x e^-x10 ( sen(2x) + 2 cos(2x) ) + e^-x50 ( 3 sen(2x) - 4 cos(2x) ) + C é a constante de integração.

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