Calcule a integral a seguir: (valor: 1,0 ponto)

Passo 1

Vamos resolver a integral . Isso envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração como substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas e exponenciais, além da técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão trigonométrica . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica:
Podemos rearranjar para obter:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher e . Vamos deixar:

Passo 4

Para encontrar , precisamos integrar . Isso também requer integração por partes ou uma técnica de integração mais avançada, mas podemos usar a fórmula de integração para produtos de funções exponenciais e trigonométricas:
Aqui, e , então:

Passo 5

Agora que temos , , , vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Podemos separar em duas integrais:
Usando a fórmula mencionada anteriormente para cada uma:
Para :
Para :
Somando as duas partes:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, lembrando que a nossa integral original tinha um fator , multiplicamos tudo por :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
(b)
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(b) .
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se , então e .
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
© Existe uma função contínua tal que para todo e também que e .