Calcule a integral a seguir: (valor: 1,0 ponto)
Passo 1
Vamos resolver a integral . Isso envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração como substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas e exponenciais, além da técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão trigonométrica . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica:
Podemos rearranjar para obter:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher
e
. Vamos deixar:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos integrar . Isso também requer integração por partes ou uma técnica de integração mais avançada, mas podemos usar a fórmula de integração para produtos de funções exponenciais e trigonométricas:
Aqui,
e
, então:
Passo 5
Agora que temos
,
,
, vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral . Podemos separar em duas integrais:
Usando a fórmula mencionada anteriormente para cada uma:
Para :
Para
:
Somando as duas partes:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, lembrando que a nossa integral original tinha um fator
, multiplicamos tudo por
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
(b)
(b)
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(b) .
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(b)
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se , então
e
.
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(d) Se
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
© Existe uma função contínua tal que
para todo
e também que
e
.
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
© Existe uma função