Sejam beta=[u, v, w] uma base, a=u+v, b=u+w e c=v+w. Determine as coordenadas de x=(2,-1,3)e na base beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base β formada por três vetores , e . Também temos três vetores , e . A tarefa é encontrar as coordenadas do vetor na base β. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que qualquer vetor x = c1 u + c2 v + c3 w pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base β. Ou seja,
onde , e são as coordenadas que queremos encontrar.

Passo 3

Sabemos também as relações entre a = u + v , b = u + w e c = v + w com , e :
Essas relações vão nos ajudar a expressar , e em termos de , e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar b - a = w - v , w = b - a + v e c = v + (b - a + v) = 2v + b - a :
  1. 2v = c - b + a implies v = 12(a + c - b)
Podemos subtrair a equação 1 da equação 2 para eliminar :
Então,
Substituindo na equação 3:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos a = u + v implies u = a - v , vamos encontrar u = a - 12(a + c - b) = 12(a - c + b) usando a equação 1:
Substituindo :

Passo 6

Por fim, usamos a equação 2 para encontrar b = u + w implies w = b - u :
w = b - 12(a - c + b) = 12(b + c - a)
Substituindo :

Passo 7

Agora que temos x = c1 u + c2 v + c3 w , x = c1 (12(a - c + b)) + c2 (12(a + c - b)) + c3 (12(b + c - a)) e em termos de , e , podemos voltar à expressão da combinação linear para :
Substituindo , e :

Passo 8

Para simplificar, vamos montar um sistema de equações. Sabemos que c1 cdot ux + c2 cdot vx + c3 cdot wx = 2 c1 cdot uy + c2 cdot vy + c3 cdot wy = -1 c1 cdot uz + c2 cdot vz + c3 cdot wz = 3 , então as componentes de são iguais às combinações lineares das componentes de , e .
Isso resulta em:

Passo 9

Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e que representam as coordenadas de na base β.

Resposta

As coordenadas de na base são .

Exercícios relacionados

Obtenha os resultados das seguintes operações: u times v cdot w, onde u=(1,0,1), v=(1,1,0), e w=(0,1,1).
Sejam beta=[u, v, w] uma base, a=u+v, b=u+w e c=v+w. Verifique que e=[a, b, c] é base R^2.
Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta. u=(1,2,3), v=(1,2,5), w=(6,2,3)
Sejam A=(ccc1 & 2 & 3 2 & 1 & -1), B=(ccc-2 & 0 & 1 3 & 0 & 1), C=(c-1 2 4), D=(ll-2 & 1), E=(cc1 & 0 3 & -1 4 & 2), F=(ll1 & 0 0 & 1). Calcule, quando possível:
C A