Sejam uma base, e . Determine as coordenadas de na base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base β formada por três vetores , e . Também temos três vetores , e . A tarefa é encontrar as coordenadas do vetor na base β. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base β. Ou seja,
onde , e são as coordenadas que queremos encontrar.
Passo 3
Sabemos também as relações entre , e com , e :
Essas relações vão nos ajudar a expressar , e em termos de , e .
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar , e :
Podemos subtrair a equação 1 da equação 2 para eliminar :
Então,
Substituindo na equação 3:
Resolvendo para :
Passo 5
Agora que temos , vamos encontrar usando a equação 1:
Substituindo :
Passo 6
Por fim, usamos a equação 2 para encontrar :
Substituindo :
Passo 7
Agora que temos , e em termos de , e , podemos voltar à expressão da combinação linear para :
Substituindo , e :
Passo 8
Para simplificar, vamos montar um sistema de equações. Sabemos que , então as componentes de são iguais às combinações lineares das componentes de , e .
Isso resulta em:
Passo 9
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e que representam as coordenadas de na base β.