Obtenha os resultados das seguintes operações: u times v cdot w, onde u=(1,0,1), v=(1,1,0), e w=(0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a expressão u times v cdot w. Aqui estamos lidando com vetores no espaço, especificamente com o produto vetorial entre u e v, seguido do produto escalar desse resultado com w. Para resolver isso, vamos precisar calcular primeiro o produto vetorial u times v e depois fazer o produto escalar desse vetor com w.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Vamos aplicar isso aos vetores u = (1, 0, 1) e v = (1, 1, 0).

Passo 3

Calculando cada componente do produto vetorial:
  • Primeira componente:
0 cdot 0 - 1 cdot 1 = 0 - 1 = -1
  • Segunda componente:
1 cdot 1 - 1 cdot 0 = 1 - 0 = 1
  • Terceira componente:
1 cdot 1 - 0 cdot 1 = 1 - 0 = 1
Então, u times v = (-1, 1, 1).

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular o produto escalar desse vetor com w = (0, 1, 1). O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 5

Aplicando isso aos vetores u times v = (-1, 1, 1) e w = (0, 1, 1):
(-1) cdot 0 + 1 cdot 1 + 1 cdot 1 = 0 + 1 + 1 = 2

Resposta

O resultado da operação u times v cdot w é 2.

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