Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta. u=(0,-3), v=(1,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, u = (0, -3) e v = (1, 0), e precisamos descobrir se eles são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e espaços vetoriais.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles puder ser escrito como múltiplo do outro. Ou seja, não existe um número escalar k tal que u = kv ou v = ku. Se isso for possível, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se existe um escalar k que satisfaça u = kv. Vamos comparar as componentes dos vetores:
  • Para a primeira componente: 0 = k cdot 1 Rightarrow k = 0
  • Para a segunda componente: -3 = k cdot 0 Rightarrow -3 = 0 (o que não faz sentido)
Como não conseguimos um mesmo valor de k que funcione para ambas as componentes, concluímos que um vetor não é múltiplo do outro.

Passo 4

Outra maneira de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Matriz = 0 & 1 -3 & 0
Determinante = (0)(0) - (1)(-3) = 0 + 3 = 3
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, isso confirma que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u = (0, -3) e v = (1, 0) são linearmente independentes (L.I.) porque nenhum deles é múltiplo do outro, e o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.

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