Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, e , e precisamos descobrir se eles são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e espaços vetoriais.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles puder ser escrito como múltiplo do outro. Ou seja, não existe um número escalar tal que ou . Se isso for possível, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se existe um escalar que satisfaça . Vamos comparar as componentes dos vetores:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente: (o que não faz sentido)
Como não conseguimos um mesmo valor de que funcione para ambas as componentes, concluímos que um vetor não é múltiplo do outro.
Passo 4
Outra maneira de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Como o determinante é , que é diferente de zero, isso confirma que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores e são linearmente independentes (L.I.) porque nenhum deles é múltiplo do outro, e o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.