Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores: u = (1, 1), v = (1, 0) e w = (0, -1). A pergunta é pra saber se esses vetores são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e como verificar isso usando um pouquinho de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente e linearmente dependente. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, não tem como multiplicar cada vetor por um número e somar pra chegar em zero, a menos que todos esses números sejam zero.
Por outro lado, vetores são linearmente dependentes se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Isso significa que tem uma relação onde a soma ponderada dos vetores dá zero, com pelo menos um dos coeficientes diferente de zero.
Passo 3
Agora, pra verificar isso com nossos vetores u, v e w, vamos montar uma equação onde a combinação linear desses vetores resulta no vetor zero:
Substituindo os vetores:
Passo 4
Vamos separar isso nas componentes x e y:
Componente x:
Componente y:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Então, as soluções para o sistema são:
Isso significa que existe uma solução onde pode ser qualquer número real, não necessariamente zero. Por exemplo, se :
Então:
Resposta
Como existe uma solução não trivial (com , , diferentes de zero) para a combinação linear que resulta em zero, os vetores u, v e w são Linearmente Dependentes (L.D.).