Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: precisamos classificar os vetores e como linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre independência linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são linearmente independentes ou dependentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um número escalar. Se um vetor for múltiplo do outro, então eles são linearmente dependentes.
Passo 3
Para verificar a classificação dos vetores e , vamos tentar encontrar um número escalar que satisfaça a equação . Se conseguirmos encontrar um único valor de que funcione para todas as componentes, os vetores são dependentes. Se não, eles são independentes.
Passo 4
Vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores:
Resolvendo a primeira equação:
-1 = lambda cdot 1 implies lambda = -1
Resolvendo a segunda equação:
2 = lambda cdot 2 implies lambda = 1
Aqui já temos um problema: lambda não é o mesmo para as duas primeiras equações. Isso significa que não existe um único valor de lambda que satisfaça ambas as equações simultaneamente.
Passo 5
Como não conseguimos encontrar um único valor de lambda que faça w = lambda v verdadeiro para todas as componentes, concluímos que os vetores não são múltiplos um do outro. Portanto, eles são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores v e w são linearmente independentes (L.I.).