Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de
no vermelho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta ela ganha
com probabilidade de
ou perde
com probabilidade de
. Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve apostas em uma roleta. A cliente vai continuar apostando R$ 5,00 no vermelho até ganhar 4 vezes. Em cada aposta, ela tem uma chance de ganhar de
ou perder de
. Queremos descobrir qual é a probabilidade de ela fazer exatamente 9 apostas para alcançar essas 4 vitórias. Vamos usar o conteúdo de Probabilidades, especificamente o conceito de Distribuição Binomial Negativa, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma situação onde queremos saber a probabilidade de obter a 4ª vitória exatamente na 9ª aposta. Isso significa que, nas primeiras 8 apostas, ela deve ter exatamente 3 vitórias e, na 9ª aposta, a vitória que completa as 4.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de ela ter exatamente 3 vitórias nas primeiras 8 apostas. Para isso, usamos a fórmula da combinação, que nos diz de quantas maneiras podemos escolher 3 vitórias em 8 apostas:
Passo 4
Agora, calculamos a probabilidade de ganhar 3 vezes e perder 5 vezes nas primeiras 8 apostas. A probabilidade de ganhar uma aposta é
e de perder é
. Então, multiplicamos essas probabilidades:
Passo 5
Depois, precisamos considerar a probabilidade de ganhar na 9ª aposta, que é
.
Passo 6
Agora, juntamos tudo: multiplicamos o número de combinações pelas probabilidades calculadas. Assim, a probabilidade total é:
Resposta
A probabilidade de a cliente fazer exatamente 9 apostas para ganhar 4 vezes é: