Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de
no vermelho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta ela ganha
com probabilidade de
ou perde
com probabilidade de
. Qual será seu ganho esperado quando ela parar?
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre uma cliente que aposta R$ 5,00 no vermelho de uma roleta até ganhar 4 vezes. Cada vez que ela aposta, tem uma chance de
de ganhar R$ 5,00 e
de perder R$ 5,00. O conteúdo aqui envolve probabilidades e variáveis aleatórias. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o ganho esperado usando a teoria de distribuição binomial negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar: o ganho esperado da cliente quando ela parar de apostar. Para isso, vamos pensar no número de perdas que ela pode ter antes de conseguir 4 vitórias. Esse tipo de situação se modela com a distribuição binomial negativa, que nos ajuda a calcular a expectativa de falhas antes de um número fixo de sucessos.
Passo 3
Na distribuição binomial negativa, a expectativa de perdas, ou seja, o número médio de vezes que a cliente vai perder antes de ganhar 4 vezes, é dada por:
Onde:
-
(número de vitórias desejadas) -
(probabilidade de ganhar) -
(probabilidade de perder)
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o ganho total esperado. A cliente ganha R$ 5,00 por vitória e perde R$ 5,00 por cada derrota. Então, o ganho esperado (
) é:
Resposta
O ganho esperado da cliente quando ela parar é de
R$.