Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádios sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição. Calcule o valor médio e a variância.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma loja com 20 rádios: 12 têm duas entradas para iPod e iPhone, e 8 têm só uma entrada. Queremos selecionar 6 rádios de forma aleatória para colocar na prateleira e descobrir, em média, quantos desses 6 terão duas entradas. Além disso, queremos saber a variância dessa quantidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa variável aleatória. Seja o número de rádios com duas entradas que serão colocados na prateleira. Nosso objetivo é calcular o valor esperado e a variância dessa variável.

Passo 3

Vamos utilizar a distribuição hipergeométrica, que é ideal para situações onde temos uma população finita com dois tipos de itens e queremos saber a probabilidade de selecionar uma certa quantidade de um dos tipos sem reposição. As fórmulas que vamos usar são:
  • Valor Esperado (Média):
  • Variância:
Onde:
  • é o total de itens (20 rádios)
  • é o número de itens de interesse (12 rádios com duas entradas)
  • é o número de itens selecionados (6 rádios)

Passo 4

Vamos aplicar os valores do problema nas fórmulas.
Valor Esperado:
Então, em média, esperamos que 3,6 rádios com duas entradas estejam na prateleira.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância.
Simplificando passo a passo:

Resposta

O valor médio de é 3,6 e a variância de é aproximadamente 1,06.

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(a) Calcule .
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