Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de no vermelho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta ela ganha com probabilidade de ou perde com probabilidade de
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que está acontecendo aqui. Temos uma cliente que está apostando R$ 5,00 no vermelho de uma roleta em um cassino. Ela vai continuar apostando até ganhar 4 vezes. Cada vez que ela aposta, ela tem uma chance de de ganhar e uma chance de de perder. A pergunta é: qual é a probabilidade dela fazer exatamente 9 apostas para conseguir essas 4 vitórias?
Aqui, vamos trabalhar com probabilidade binomial negativa, que serve para calcular a chance de precisar de um certo número de tentativas para alcançar um número específico de sucessos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa fazer exatamente 9 apostas para alcançar 4 vitórias. Isso quer dizer que, nas primeiras 8 apostas, ela deve ter exatamente 3 vitórias e 5 derrotas, e na 9ª aposta, ela ganha a 4ª vitória.
Isso porque se ela ganhasse a 4ª vez antes da 9ª aposta, ela teria parado de apostar antes.

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de maneiras diferentes de distribuir essas 3 vitórias nas primeiras 8 apostas. Isso é dado pelo coeficiente binomial, que calcula combinações.
A fórmula para o coeficiente binomial é:
onde representa o fatorial de .
Neste caso, queremos distribuir 3 vitórias em 8 apostas:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de exatamente 3 vitórias em 8 apostas e depois ganhar na 9ª aposta.
A probabilidade de ganhar é e a de perder é . Assim, a probabilidade de ter 3 vitórias e 5 derrotas nas primeiras 8 apostas é:

Passo 5

Finalmente, como a 9ª aposta também precisa ser uma vitória, multiplicamos pela probabilidade de ganhar nessa última aposta:

Passo 6

Agora, juntando todas as partes, a probabilidade total é:
Substituindo os valores que já calculamos:

Resposta

A probabilidade de que a cliente faça um total de 9 apostas é:
ou seja, aproximadamente 22,6%.

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