Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de
no vermelho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta ela ganha
com probabilidade de
ou perde
com probabilidade de
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que está acontecendo aqui. Temos uma cliente que está apostando R$ 5,00 no vermelho de uma roleta em um cassino. Ela vai continuar apostando até ganhar 4 vezes. Cada vez que ela aposta, ela tem uma chance de
de ganhar e uma chance de
de perder. A pergunta é: qual é a probabilidade dela fazer exatamente 9 apostas para conseguir essas 4 vitórias?
Aqui, vamos trabalhar com probabilidade binomial negativa, que serve para calcular a chance de precisar de um certo número de tentativas para alcançar um número específico de sucessos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa fazer exatamente 9 apostas para alcançar 4 vitórias. Isso quer dizer que, nas primeiras 8 apostas, ela deve ter exatamente 3 vitórias e 5 derrotas, e na 9ª aposta, ela ganha a 4ª vitória.
Isso porque se ela ganhasse a 4ª vez antes da 9ª aposta, ela teria parado de apostar antes.
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de maneiras diferentes de distribuir essas 3 vitórias nas primeiras 8 apostas. Isso é dado pelo coeficiente binomial, que calcula combinações.
A fórmula para o coeficiente binomial é:
onde
representa o fatorial de
.
Neste caso, queremos distribuir 3 vitórias em 8 apostas:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a probabilidade de exatamente 3 vitórias em 8 apostas e depois ganhar na 9ª aposta.
A probabilidade de ganhar é
e a de perder é
. Assim, a probabilidade de ter 3 vitórias e 5 derrotas nas primeiras 8 apostas é:
Passo 5
Finalmente, como a 9ª aposta também precisa ser uma vitória, multiplicamos pela probabilidade de ganhar nessa última aposta:
Passo 6
Agora, juntando todas as partes, a probabilidade total é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
A probabilidade de que a cliente faça um total de 9 apostas é:
ou seja, aproximadamente 22,6%.
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Variável | N | Média | EP da média | DP | Variância | Soma |
---|---|---|---|---|---|---|
X | 10 |
|
0,507 | 1,605 |
|
251,848 |
a) Determine as grandezas que faltam.
Variável | N | Média | EP da média | DP | Variância | Soma |
---|---|---|---|---|---|---|
X | 10 |
|
0,507 | 1,605 |
|
251,848 |
b) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a média da população.
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de suas tentativas de lances livres. Suponha que os resultados para cada lance sejam independentes. Se Ester tentar 3 lances livres, calcule a probabilidade de ela errar pelo menos um deles.
A revista Fortune publica uma edição anual que contém informações sobre as empresas do grupo Fortune 500. Os dados a seguir apresentam os cinco estados que contam com o maior número de empresas do grupo Fortune 500 (The New York Times Almanac, 2006).
Estado | Número de empresas |
Nova York | 54 |
Califórnia | 52 |
Texas | 48 |
Illinois | 33 |
Ohio | 30 |
Suponha que uma empresa do grupo Fortune 500 seja escolhida para responder a um questionário de acompanhamento (follow-up). Quais são as probabilidades dos seguintes eventos?
b. Seja o evento correspondente à empresa ter sede no Texas. Encontre
.
b. Seja