Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de
no vermelho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta ela ganha
com probabilidade de
ou perde
com probabilidade de
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que está acontecendo aqui. Temos uma cliente que está apostando R$ 5,00 no vermelho de uma roleta em um cassino. Ela vai continuar apostando até ganhar 4 vezes. Cada vez que ela aposta, ela tem uma chance de
de ganhar e uma chance de
de perder. A pergunta é: qual é a probabilidade dela fazer exatamente 9 apostas para conseguir essas 4 vitórias?
Aqui, vamos trabalhar com probabilidade binomial negativa, que serve para calcular a chance de precisar de um certo número de tentativas para alcançar um número específico de sucessos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa fazer exatamente 9 apostas para alcançar 4 vitórias. Isso quer dizer que, nas primeiras 8 apostas, ela deve ter exatamente 3 vitórias e 5 derrotas, e na 9ª aposta, ela ganha a 4ª vitória.
Isso porque se ela ganhasse a 4ª vez antes da 9ª aposta, ela teria parado de apostar antes.
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de maneiras diferentes de distribuir essas 3 vitórias nas primeiras 8 apostas. Isso é dado pelo coeficiente binomial, que calcula combinações.
A fórmula para o coeficiente binomial é:
onde
representa o fatorial de
.
Neste caso, queremos distribuir 3 vitórias em 8 apostas:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a probabilidade de exatamente 3 vitórias em 8 apostas e depois ganhar na 9ª aposta.
A probabilidade de ganhar é
e a de perder é
. Assim, a probabilidade de ter 3 vitórias e 5 derrotas nas primeiras 8 apostas é:
Passo 5
Finalmente, como a 9ª aposta também precisa ser uma vitória, multiplicamos pela probabilidade de ganhar nessa última aposta:
Passo 6
Agora, juntando todas as partes, a probabilidade total é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
A probabilidade de que a cliente faça um total de 9 apostas é:
ou seja, aproximadamente 22,6%.