Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de
no vermelho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta ela ganha
com probabilidade de
ou perde
com probabilidade de
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
(b) Qual será seu ganho esperado quando ela parar?
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
(b) Qual será seu ganho esperado quando ela parar?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre uma cliente que aposta R$ 5,00 no vermelho de uma roleta até ganhar 4 vezes. Acontece que ela tem uma probabilidade de ganhar cada aposta de
e de perder de
. Vamos precisar de conceitos de probabilidade, especificamente de probabilidade binomial e distribuição negativa. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
Primeiro, vamos entender o que significa fazer exatamente 9 apostas para ganhar 4 vezes. Isso quer dizer que nas primeiras 8 apostas ela conseguiu 3 vitórias e 5 derrotas, e na 9ª aposta ela ganhou a 4ª vez.
Passo 3
Vamos calcular a quantidade de maneiras de distribuir 3 vitórias nas primeiras 8 apostas. Isso é uma combinação, que é dada por:
Onde
representa o número de combinações de 3 vitórias em 8 apostas.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 3 vitórias e 5 derrotas nas primeiras 8 apostas. Cada vitória tem probabilidade
e cada derrota
. Então, a probabilidade é:
Passo 5
Além disso, a 9ª aposta precisa ser uma vitória, o que tem probabilidade
. Portanto, a probabilidade total de fazer exatamente 9 apostas é:
Passo 6
Vamos agora calcular os valores numéricos:
Então,
Passo 7
Calculando os termos:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas é aproximadamente 4,94 %.