Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de R no vermelho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta ela ganha no vermelho de uma ro<=ta até que e<= ganhe 4 dessas apostas Em cada aposta ela ganha com probabilidade de 5,00 ou perde 919 com probabilidade de R
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
(b) Qual será seu ganho esperado quando ela parar?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre uma cliente que aposta R$ 5,00 no vermelho de uma roleta até ganhar 4 vezes. Acontece que ela tem uma probabilidade de ganhar cada aposta de e de perder de . Vamos precisar de conceitos de probabilidade, especificamente de probabilidade binomial e distribuição negativa. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
Primeiro, vamos entender o que significa fazer exatamente 9 apostas para ganhar 4 vezes. Isso quer dizer que nas primeiras 8 apostas ela conseguiu 3 vitórias e 5 derrotas, e na 9ª aposta ela ganhou a 4ª vez.

Passo 3

Vamos calcular a quantidade de maneiras de distribuir 3 vitórias nas primeiras 8 apostas. Isso é uma combinação, que é dada por:
binom83
Onde representa o número de combinações de 3 vitórias em 8 apostas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 3 vitórias e 5 derrotas nas primeiras 8 apostas. Cada vitória tem probabilidade (919)^3 times (1019)^5 e cada derrota . Então, a probabilidade é:

Passo 5

Além disso, a 9ª aposta precisa ser uma vitória, o que tem probabilidade binom83 times (919)^4 times (1019)^5 . Portanto, a probabilidade total de fazer exatamente 9 apostas é:

Passo 6

Vamos agora calcular os valores numéricos:
binom83 = 8!3!5! = 56
Então,
P = 56 times (919)^4 times (1019)^5

Passo 7

Calculando os termos:
(919)^4 approx 0,0334
(1019)^5 approx 0,0263
Multiplicando tudo:
P approx 56 times 0,0334 times 0,0263 approx 0,0494

Resposta

A probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas é aproximadamente 4,94 %.

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