A função de distribuição para uma variável aleatória X é:
FX(x)= 1-e^-2 x, & x >= 0 0, & x<0
© Encontre a probabilidade de que -3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a probabilidade de que a variável aleatória esteja entre -3 e 4, ou seja, . A matéria envolvida aqui é a Função de Distribuição Acumulada (CDF) de uma variável aleatória contínua. Para isso, vamos precisar entender como usar a CDF para calcular probabilidades em intervalos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Função de Distribuição Acumulada FX(x)= 1-e^-2 x, & x >= 0 0, & x<0 . Ela nos dá a probabilidade de que a variável seja menor ou igual a um valor específico . No nosso caso, a função é definida como:
Então, para qualquer valor positivo, a probabilidade acumulada até é , e para valores negativos de , essa probabilidade é zero.

Passo 3

Agora, para encontrar P(a < X <= b) = FX(b) - FX(a) , vamos usar a propriedade da CDF que diz que:
Aqui, e . Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos FX(4) = 1 - e^-2 times 4 = 1 - e^-8 . Como 4 é maior ou igual a zero, usamos a primeira parte da função:
FX(-3) = 0
Depois, calculamos . Como -3 é menor que zero, usamos a segunda parte da função:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula:
P(-3 < X <= 4) = FX(4) - FX(-3) = (1 - e^-8) - 0 = 1 - e^-8
Isso nos dá a probabilidade desejada.

Resposta

A probabilidade de que é , aproximadamente igual a 0,9997.

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