Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádios sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição.
(a) Calcule .
(b) Calcule o valor médio e a variância.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma loja que recebeu 20 rádios de mesa, sendo que 12 têm duas entradas e 8 têm apenas uma. A gente vai escolher 6 desses rádios aleatoriamente para colocar na prateleira de exposição, e o resto vai pro depósito. A gente quer saber sobre o número de rádios com duas entradas que acabam na prateleira. Para isso, vamos usar um pouco de combinatória e teoria de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é perfeita para situações de amostragem sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , ou seja, a probabilidade de exatamente 2 dos 6 rádios na prateleira terem duas entradas. A distribuição hipergeométrica nos ajuda aqui. A fórmula é:
Onde:
  • (total de rádios)
  • (rádios com duas entradas)
  • (rádios escolhidos para a prateleira)
  • (rádios com duas entradas que queremos)

Passo 3

Vamos calcular cada parte:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a probabilidade de ter no máximo 2 rádios com duas entradas na prateleira. Isso inclui , e .
Primeiro, calculamos cada uma dessas probabilidades:
Para :
Para :
Já temos .

Passo 6

Somando tudo:

Passo 7

Agora, para a parte (b), vamos calcular o valor médio (esperança) e a variância de .
A esperança na distribuição hipergeométrica é dada por:
Substituindo:

Passo 8

A variância é calculada por:
Substituindo os valores:

Resposta

(a) e .
(b) O valor médio de é 3,6 e a variância é aproximadamente 1,06.

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