Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádios sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere
o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição.
(a) Calcule
.
(b) Calcule o valor médio e a variância.
(a) Calcule
(b) Calcule o valor médio e a variância.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma loja que recebeu 20 rádios de mesa, sendo que 12 têm duas entradas e 8 têm apenas uma. A gente vai escolher 6 desses rádios aleatoriamente para colocar na prateleira de exposição, e o resto vai pro depósito. A gente quer saber sobre o número de rádios com duas entradas que acabam na prateleira. Para isso, vamos usar um pouco de combinatória e teoria de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é perfeita para situações de amostragem sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, ou seja, a probabilidade de exatamente 2 dos 6 rádios na prateleira terem duas entradas. A distribuição hipergeométrica nos ajuda aqui. A fórmula é:
Onde:
-
(total de rádios) -
(rádios com duas entradas) -
(rádios escolhidos para a prateleira) -
(rádios com duas entradas que queremos)
Passo 3
Vamos calcular cada parte:
Passo 4
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a probabilidade de ter no máximo 2 rádios com duas entradas na prateleira. Isso inclui
,
e
.
Primeiro, calculamos cada uma dessas probabilidades:
Para
:
Para
:
Já temos
.
Passo 6
Somando tudo:
Passo 7
Agora, para a parte (b), vamos calcular o valor médio (esperança) e a variância de
.
A esperança
na distribuição hipergeométrica é dada por:
Substituindo:
Passo 8
A variância
é calculada por:
Substituindo os valores:
Resposta
(a)
e
.
(b) O valor médio de
é 3,6 e a variância é aproximadamente 1,06.
Exercícios relacionados
Uma variável aleatória
tem a função densidade
, onde
.
© Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória
.
© Encontre a função de distribuição acumulada
Uma variável aleatória
tem a função densidade
, onde
.
(b) Encontre a probabilidade de que esteja entre
e 1 .
(b) Encontre a probabilidade de que
A função de distribuição para uma variável aleatória
é:
(b) Encontre a probabilidade de que
.
Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de
no vermelho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta ela ganha
com probabilidade de
ou perde
com probabilidade de
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
(b) Qual será seu ganho esperado quando ela parar?
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
(b) Qual será seu ganho esperado quando ela parar?