Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para iPod e iPhone. Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos 20 rádios sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Considere X= o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre a prateleira de exibição.
(a) Calcule P(X=2), P(X <= 2).
(b) Calcule o valor médio e a variância.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma loja que recebeu 20 rádios de mesa, sendo que 12 têm duas entradas e 8 têm apenas uma. A gente vai escolher 6 desses rádios aleatoriamente para colocar na prateleira de exposição, e o resto vai pro depósito. A gente quer saber sobre o número de rádios com duas entradas que acabam na prateleira. Para isso, vamos usar um pouco de combinatória e teoria de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é perfeita para situações de amostragem sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular P(X = k) = dbinomKk times dbinomN-Kn-kdbinomNn , ou seja, a probabilidade de exatamente 2 dos 6 rádios na prateleira terem duas entradas. A distribuição hipergeométrica nos ajuda aqui. A fórmula é:
Onde:
  • (total de rádios)
  • (rádios com duas entradas)
  • (rádios escolhidos para a prateleira)
  • (rádios com duas entradas que queremos)

Passo 3

Vamos calcular cada parte:
dbinom122 = 12!2! times 10! = 66
dbinom84 = 8!4! times 4! = 70
dbinom206 = 20!6! times 14! = 38760

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula:
P(X = 2) = 66 times 7038760 = 462038760 approx 0,1192

Passo 5

Agora, vamos calcular P(X = 0) = dbinom120 times dbinom86dbinom206 = 1 times 2838760 approx 0,0007 , que é a probabilidade de ter no máximo 2 rádios com duas entradas na prateleira. Isso inclui P(X = 1) = dbinom121 times dbinom85dbinom206 = 12 times 5638760 approx 0,0174 , e .
Primeiro, calculamos cada uma dessas probabilidades:
Para :
Para :
Já temos .

Passo 6

Somando tudo:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,0007 + 0,0174 + 0,1192 = 0,1373

Passo 7

Agora, para a parte (b), vamos calcular o valor médio (esperança) e a variância de E(X) = n times KN .
A esperança E(X) = 6 times 1220 = 6 times 0,6 = 3,6 na distribuição hipergeométrica é dada por:
Substituindo:

Passo 8

A variância Var(X) = n times KN times N - KN times N - nN - 1 é calculada por:
Var(X) = 6 times 1220 times 820 times 1419
Substituindo os valores:
Var(X) = 6 times 0,6 times 0,4 times 1419 approx 6 times 0,6 times 0,4 times 0,7368 approx 1,0613

Resposta

(a) e .
(b) O valor médio de é 3,6 e a variância é aproximadamente 1,06.

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