Os clientes chegam ao caixa a uma taxa média de 1,5 por minuto. Qual distribuição será aplicada se forem feitas suposições razoáveis? Liste essas suposições. Encontre a probabilidade de que no máximo 13 clientes cheguem durante um intervalo de seis minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde clientes chegam no caixa a uma taxa média de 1,5 por minuto. O que a gente precisa descobrir é qual distribuição de probabilidade usar nesse caso, listar as suposições que estamos fazendo, e calcular a probabilidade de, em até seis minutos, chegarem no máximo 13 clientes. Vamos precisar entender sobre distribuição de Poisson para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar sobre qual distribuição se aplica. Quando temos eventos que acontecem de forma aleatória e independente no tempo, como a chegada de clientes, a distribuição de Poisson é a mais indicada. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo de tempo específico.
Passo 3
Agora, quais são as suposições que estamos fazendo para usar a distribuição de Poisson? Aqui estão elas:
- Eventos Independentes: A chegada de um cliente não influencia a chegada do próximo.
- Taxa Constante: A taxa média de chegada (1,5 clientes por minuto) é constante durante o período analisado.
- Eventos Raros: A probabilidade de mais de um evento acontecer exatamente no mesmo intervalo pequeno de tempo é praticamente zero.
Passo 4
Com essas suposições, podemos aplicar a distribuição de Poisson. A fórmula da probabilidade de exatamente
eventos ocorrerem em um intervalo de tempo é:
Onde:
-
é a taxa média de eventos no intervalo. -
é o número de eventos. -
é a base do logaritmo natural (~2,71828).
Passo 5
Vamos calcular
para o nosso caso. A taxa é de 1,5 clientes por minuto e queremos saber para seis minutos:
Então,
.
Passo 6
Agora, queremos a probabilidade de no máximo 13 clientes chegarem em seis minutos. Isso significa que estamos somando as probabilidades de 0 até 13 clientes chegarem. Matematicamente, isso fica:
Passo 7
Para calcular isso na prática, normalmente usaríamos uma tabela de Poisson ou uma calculadora que tenha a função de distribuição acumulada de Poisson. Mas, se fizermos os cálculos, veremos que:
Isso significa que há aproximadamente 99,8% de chance de no máximo 13 clientes chegarem em seis minutos.
Resposta
A probabilidade de que no máximo 13 clientes cheguem durante um intervalo de seis minutos é de aproximadamente 99,8%.