Os clientes chegam ao caixa a uma taxa média de 1,5 por minuto. Qual distribuição será aplicada se forem feitas suposições razoáveis? Liste essas suposições. Encontre a probabilidade de que no máximo 13 clientes cheguem durante um intervalo de seis minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde clientes chegam no caixa a uma taxa média de 1,5 por minuto. O que a gente precisa descobrir é qual distribuição de probabilidade usar nesse caso, listar as suposições que estamos fazendo, e calcular a probabilidade de, em até seis minutos, chegarem no máximo 13 clientes. Vamos precisar entender sobre distribuição de Poisson para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar sobre qual distribuição se aplica. Quando temos eventos que acontecem de forma aleatória e independente no tempo, como a chegada de clientes, a distribuição de Poisson é a mais indicada. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo de tempo específico.

Passo 3

Agora, quais são as suposições que estamos fazendo para usar a distribuição de Poisson? Aqui estão elas:
  1. Eventos Independentes: A chegada de um cliente não influencia a chegada do próximo.
  2. Taxa Constante: A taxa média de chegada (1,5 clientes por minuto) é constante durante o período analisado.
  3. Eventos Raros: A probabilidade de mais de um evento acontecer exatamente no mesmo intervalo pequeno de tempo é praticamente zero.

Passo 4

Com essas suposições, podemos aplicar a distribuição de Poisson. A fórmula da probabilidade de exatamente P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk! eventos ocorrerem em um intervalo de tempo é:
Onde:
  • é a taxa média de eventos no intervalo.
  • é o número de eventos.
  • é a base do logaritmo natural (~2,71828).

Passo 5

Vamos calcular lambda = 1,5 , clientes/minuto times 6 , minutos = 9 para o nosso caso. A taxa é de 1,5 clientes por minuto e queremos saber para seis minutos:
Então, .

Passo 6

Agora, queremos a probabilidade de no máximo 13 clientes chegarem em seis minutos. Isso significa que estamos somando as probabilidades de 0 até 13 clientes chegarem. Matematicamente, isso fica:
P(X <= 13) = sumk=0^13 e^-9 times 9^kk!

Passo 7

Para calcular isso na prática, normalmente usaríamos uma tabela de Poisson ou uma calculadora que tenha a função de distribuição acumulada de Poisson. Mas, se fizermos os cálculos, veremos que:
P(X <= 13) approx 0,998
Isso significa que há aproximadamente 99,8% de chance de no máximo 13 clientes chegarem em seis minutos.

Resposta

A probabilidade de que no máximo 13 clientes cheguem durante um intervalo de seis minutos é de aproximadamente 99,8%.

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