Para estimar a fração defeituosa entre componentes elétricos, como eles são produzidos sob condições normais, uma amostra contendo 1000 componentes é retirada e cada componente é classificado como defeituoso ou não defeituoso. Nove componentes são considerados defeituosos nesta amostra.
C. Supondo que a estimativa na parte (a) esteja exatamente correta, qual é a probabilidade de que mais de três componentes defeituosos sejam encontrados em uma amostra de 100 componentes?
C. Supondo que a estimativa na parte (a) esteja exatamente correta, qual é a probabilidade de que mais de três componentes defeituosos sejam encontrados em uma amostra de 100 componentes?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma amostra de 1000 componentes elétricos, dos quais 9 são defeituosos. Queremos estimar a fração de componentes defeituosos e, usando essa estimativa, calcular a probabilidade de encontrar mais de 3 componentes defeituosos em uma nova amostra de 100 componentes. Aqui, vamos trabalhar com probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos (neste caso, defeitos) em uma série de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a fração defeituosa estimada. Isso é feito dividindo o número de componentes defeituosos pelo total da amostra:
Então, a probabilidade de um componente ser defeituoso é de 0,009.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de, em uma nova amostra de 100 componentes, mais de 3 serem defeituosos. Isso significa que queremos calcular
, onde
segue uma distribuição binomial com
e
.
Passo 4
A distribuição binomial é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, -
é a probabilidade de sucesso (defeito), -
é o número de tentativas, -
é o número de sucessos desejados.
Passo 5
Calculamos
somando as probabilidades de
. Porém, calcular cada termo individualmente é complicado. Uma maneira mais fácil é usar a complementariedade:
Então, precisamos calcular
, que é a soma das probabilidades de
.
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
Passo 7
Calculando cada termo:
Passo 8
Somando essas probabilidades:
Passo 9
Finalmente, usando a complementariedade:
Resposta
A probabilidade de encontrar mais de três componentes defeituosos em uma amostra de 100 componentes é aproximadamente 9,2%.