Para estimar a fração defeituosa entre componentes elétricos, como eles são produzidos sob condições normais, uma amostra contendo 1000 componentes é retirada e cada componente é classificado como defeituoso ou não defeituoso. Nove componentes são considerados defeituosos nesta amostra.
C. Supondo que a estimativa na parte (a) esteja exatamente correta, qual é a probabilidade de que mais de três componentes defeituosos sejam encontrados em uma amostra de 100 componentes?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma amostra de 1000 componentes elétricos, dos quais 9 são defeituosos. Queremos estimar a fração de componentes defeituosos e, usando essa estimativa, calcular a probabilidade de encontrar mais de 3 componentes defeituosos em uma nova amostra de 100 componentes. Aqui, vamos trabalhar com probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos (neste caso, defeitos) em uma série de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a fração defeituosa estimada. Isso é feito dividindo o número de componentes defeituosos pelo total da amostra:
p = 91000 = 0,009
Então, a probabilidade de um componente ser defeituoso é de 0,009.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de, em uma nova amostra de 100 componentes, mais de 3 serem defeituosos. Isso significa que queremos calcular , onde segue uma distribuição binomial com e .

Passo 4

A distribuição binomial é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial,
  • é a probabilidade de sucesso (defeito),
  • é o número de tentativas,
  • é o número de sucessos desejados.

Passo 5

Calculamos P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) somando as probabilidades de . Porém, calcular cada termo individualmente é complicado. Uma maneira mais fácil é usar a complementariedade:
Então, precisamos calcular , que é a soma das probabilidades de .

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
P(X = 0) = binom1000 (0,009)^0 (0,991)^100 = 1 times 1 times (0,991)^100
P(X = 1) = binom1001 (0,009)^1 (0,991)^99 = 100 times 0,009 times (0,991)^99
P(X = 2) = binom1002 (0,009)^2 (0,991)^98 = 4950 times (0,009)^2 times (0,991)^98
P(X = 3) = binom1003 (0,009)^3 (0,991)^97 = 161700 times (0,009)^3 times (0,991)^97

Passo 7

Calculando cada termo:
P(X = 0) approx (0,991)^100 approx 0,366
P(X = 1) approx 100 times 0,009 times (0,991)^99 approx 0,332
P(X = 2) approx 4950 times 0,000081 times (0,991)^98 approx 0,164
P(X = 3) approx 161700 times 0,000000729 times (0,991)^97 approx 0,046

Passo 8

Somando essas probabilidades:
P(X <= 3) approx 0,366 + 0,332 + 0,164 + 0,046 = 0,908

Passo 9

Finalmente, usando a complementariedade:
P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) = 1 - 0,908 = 0,092

Resposta

A probabilidade de encontrar mais de três componentes defeituosos em uma amostra de 100 componentes é aproximadamente 9,2%.

Exercícios relacionados