O número médio de veículos que chegam a um cruzamento sob certas condições é constante, mas os veículos chegam independentemente e o número real que chega em qualquer intervalo de tempo é determinado pelo acaso. A taxa média na qual os veículos chegam ao cruzamento é de 360 veículos por hora. Os semáforos neste cruzamento passam por um ciclo completo em 40 segundos. Durante o sinal verde, apenas sete veículos podem passar pelo cruzamento.
A. Qual é a probabilidade de que exatamente sete veículos cheguem durante um ciclo?
A. Qual é a probabilidade de que exatamente sete veículos cheguem durante um ciclo?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cruzamento onde, em média, chegam 360 veículos por hora. O ciclo completo do semáforo dura 40 segundos. Queremos saber qual a probabilidade de exatamente sete veículos chegarem durante esse ciclo de 40 segundos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo de tempo fixo quando esses eventos ocorrem de forma independente.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a taxa média de chegada de veículos durante os 40 segundos do ciclo. Sabemos que a média é de 360 veículos por hora. Como uma hora tem 3600 segundos, a taxa por segundo é:
Passo 3
Agora, multiplicamos essa taxa pelo tempo do ciclo para encontrar a taxa média
durante os 40 segundos:
Então,
é a média de veículos que esperamos chegar em 40 segundos.
Passo 4
Com a taxa média
, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de exatamente 7 veículos chegarem:
Onde:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando passo a passo:
Passo 6
Agora, multiplicamos e dividimos os valores:
Resposta
A probabilidade de que exatamente sete veículos cheguem durante um ciclo de 40 segundos é de aproximadamente 5,93%.