O número médio de veículos que chegam a um cruzamento sob certas condições é constante, mas os veículos chegam independentemente e o número real que chega em qualquer intervalo de tempo é determinado pelo acaso. A taxa média na qual os veículos chegam ao cruzamento é de 360 veículos por hora. Os semáforos neste cruzamento passam por um ciclo completo em 40 segundos. Durante o sinal verde, apenas sete veículos podem passar pelo cruzamento.
A. Qual é a probabilidade de que exatamente sete veículos cheguem durante um ciclo?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cruzamento onde, em média, chegam 360 veículos por hora. O ciclo completo do semáforo dura 40 segundos. Queremos saber qual a probabilidade de exatamente sete veículos chegarem durante esse ciclo de 40 segundos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo de tempo fixo quando esses eventos ocorrem de forma independente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a taxa média de chegada de veículos durante os 40 segundos do ciclo. Sabemos que a média é de 360 veículos por hora. Como uma hora tem 3600 segundos, a taxa por segundo é:
lambdapor segundo = 360 veículos3600 segundos = 0,1 veículos por segundo íí

Passo 3

Agora, multiplicamos essa taxa pelo tempo do ciclo para encontrar a taxa média lambda = 0,1 times 40 = 4 durante os 40 segundos:
Então, é a média de veículos que esperamos chegar em 40 segundos.

Passo 4

Com a taxa média P(k) = lambda^k times e^-lambdak! , vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de exatamente 7 veículos chegarem:
Onde:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
P(7) = 4^7 times e^-47!
Calculando passo a passo:
4^7 = 16384
e^-4 approx 0,0183156
7! = 5040

Passo 6

Agora, multiplicamos e dividimos os valores:
P(7) = 16384 times 0,01831565040 approx 299,3765040 approx 0,0593

Resposta

A probabilidade de que exatamente sete veículos cheguem durante um ciclo de 40 segundos é de aproximadamente 5,93%.

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