Uma clínica especializada trata de 3 tipos de doenças: A, B e C. Dos clientes que procuram a clínica 50 % são portadores de A ; 40 % são portadores de B; e 10 % são portadores de C. Um levantamento feito pela clínica mostra que as probabilidades de cura de cada doença são:
  • de 80 % para a doença A ;
  • de 90 % para a doença B;
  • de 95 % para a doença C;
    Um enfermo saiu curado da clínica.
    Qual a probabilidade de que ele sofresse da doença B ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem que descobrir a probabilidade de um paciente que saiu curado ter sofrido da doença B. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. Vamos precisar entender como calcular essas probabilidades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Probabilidades das doenças:
    • A: 50% ou 0,5
    • B: 40% ou 0,4
    • C: 10% ou 0,1
  • Probabilidades de cura:
    • A: 80% ou 0,8
    • B: 90% ou 0,9
    • C: 95% ou 0,95

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que, dado que um paciente foi curado, ele tinha a doença B. Isso é representado por $ P(B \mid curado) $.

Passo 4

Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(B mid curado) = P(curado mid B) times P(B)P(curado)
Aqui, $ P(curado) $ é a probabilidade total de um paciente ser curado, considerando todas as doenças.

Passo 5

Vamos calcular $ P(curado) $ somando as probabilidades de cada doença levar à cura:
P(curado)
Substituindo os valores:
P(curado) = P(curado mid A) times P(A) + P(curado mid B) times P(B) + P(curado mid C) times P(C)

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores encontrados:
P(B mid curado) = 0,9 times 0,40,855 = 0,360,855 approx 0,421

Resposta

A probabilidade de que o paciente tivesse a doença B é aproximadamente 42,1%.

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