Uma clínica especializada trata de 3 tipos de doenças:
e
. Dos clientes que procuram a clínica
são portadores de
são portadores de
; e
são portadores de
. Um levantamento feito pela clínica mostra que as probabilidades de cura de cada doença são:
- de
para a doença
- de
para a doença
;
- de
para a doença
;
Um enfermo saiu curado da clínica.
Qual a probabilidade de que ele sofresse da doença
?
Um enfermo saiu curado da clínica.
Qual a probabilidade de que ele sofresse da doença
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem que descobrir a probabilidade de um paciente que saiu curado ter sofrido da doença B. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. Vamos precisar entender como calcular essas probabilidades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Probabilidades das doenças:
- A: 50% ou 0,5
- B: 40% ou 0,4
- C: 10% ou 0,1
- Probabilidades de cura:
- A: 80% ou 0,8
- B: 90% ou 0,9
- C: 95% ou 0,95
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de que, dado que um paciente foi curado, ele tinha a doença B. Isso é representado por $ P(B \mid curado) $.
Passo 4
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Aqui, $ P(curado) $ é a probabilidade total de um paciente ser curado, considerando todas as doenças.
Passo 5
Vamos calcular $ P(curado) $ somando as probabilidades de cada doença levar à cura:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores encontrados:
Resposta
A probabilidade de que o paciente tivesse a doença B é aproximadamente 42,1%.