O professor da disciplina de Probabilidade e Estatística está interessado em estimar a média de horas que a turma estuda por semana. Ele seleciona uma amostra aleatória de 25 alunos e descobre que a média de horas estudadas é de 15 horas, com um desvio padrão amostral de 4 horas. Suponha normalidade e considere um nível de confiança de
. Qual o intervalo de confiança para a média de horas que os alunos estudam por semana?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o intervalo de confiança para a média de horas que a turma estuda por semana. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente o conceito de Intervalo de Confiança para a Média. Para isso, vamos precisar da média amostral, do desvio padrão amostral, do tamanho da amostra e do nível de confiança desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o intervalo de confiança para a média quando a amostra é pequena (menos de 30) e o desvio padrão da população não é conhecido. A gente usa a distribuição t de Student nesse caso. A fórmula é:
Onde:
-
é a média amostral, -
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado, -
é o desvio padrão amostral, -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Vamos identificar os valores que a gente tem no exercício:
- Média amostral (
) = 15 horas - Desvio padrão amostral (
) = 4 horas - Tamanho da amostra (
) = 25 - Nível de confiança = 95%
Como a amostra tem 25 alunos, os graus de liberdade serão
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
para um nível de confiança de 95% e 24 graus de liberdade. Olhando numa tabela de distribuição t ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 5
Vamos calcular o erro padrão (
):
Passo 6
Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média amostral:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a média de horas que os alunos estudam por semana está entre aproximadamente 13,35 horas e 16,65 horas.