O professor da disciplina de Probabilidade e Estatística está interessado em estimar a média de horas que a turma estuda por semana. Ele seleciona uma amostra aleatória de 25 alunos e descobre que a média de horas estudadas é de 15 horas, com um desvio padrão amostral de 4 horas. Suponha normalidade e considere um nível de confiança de 95 %. Qual o intervalo de confiança para a média de horas que os alunos estudam por semana?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o intervalo de confiança para a média de horas que a turma estuda por semana. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente o conceito de Intervalo de Confiança para a Média. Para isso, vamos precisar da média amostral, do desvio padrão amostral, do tamanho da amostra e do nível de confiança desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o intervalo de confiança para a média quando a amostra é pequena (menos de 30) e o desvio padrão da população não é conhecido. A gente usa a distribuição t de Student nesse caso. A fórmula é:
barx pm talpha/2 times sraizn
Onde:
  • barx é a média amostral,
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos identificar os valores que a gente tem no exercício:
  • Média amostral ( barx) = 15 horas
  • Desvio padrão amostral ( s) = 4 horas
  • Tamanho da amostra ( n) = 25
  • Nível de confiança = 95%
Como a amostra tem 25 alunos, os graus de liberdade serão n - 1 = 24.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para um nível de confiança de 95% e 24 graus de liberdade. Olhando numa tabela de distribuição t ou usando uma calculadora, encontramos que:
t0,025, 24 approx 2,064

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão ( sraizn):
4raiz25 = 45 = 0,8

Passo 6

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
2,064 times 0,8 approx 1,6512

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média amostral:
15 - 1,6512 approx 13,3488
15 + 1,6512 approx 16,6512

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média de horas que os alunos estudam por semana está entre aproximadamente 13,35 horas e 16,65 horas.

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