Um fabricante de lâmpadas afirma que suas lâmpadas têm uma vida útil média de 1.000 horas. Este fabricante também afirma que pode haver uma variação natural nesse tempo que o desvio padrão é de 120 horas. Para verificar essa afirmação, um pesquisador coleta uma amostra de 36 lâmpadas e encontra que a vida útil média da amostra é de 950 horas.

Passo 1

Então, o que temos aqui é um fabricante de lâmpadas que diz que as lâmpadas duram, em média, 1.000 horas, com uma variação (desvio padrão) de 120 horas. Um pesquisador quer checar se essa afirmação é verdadeira. Para isso, ele coletou uma amostra de 36 lâmpadas e descobriu que a média dessa amostra foi de 950 horas. Vamos usar a estatística para ver se essa média da amostra difere significativamente da média que o fabricante afirma.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A vida útil média das lâmpadas é de 1.000 horas.
    H₀: mu = 1000
  • Hipótese Alternativa (H₁): A vida útil média das lâmpadas não é de 1.000 horas.
    H₁: mu neq 1000

Passo 3

Agora, precisamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos diz o quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula do erro padrão (EP) é:
EP = sigmaraizn
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população (120 horas).
  • n é o tamanho da amostra (36 lâmpadas).
Vamos calcular:
EP = 120raiz36 = 1206 = 20

Passo 4

Com o erro padrão, agora calculamos o valor z, que nos ajuda a determinar quantos desvios padrão a média da amostra está da média da população. A fórmula do valor z é:
z = barx - muEP
Onde:
  • barx é a média da amostra (950 horas).
  • mu é a média da população segundo a hipótese nula (1.000 horas).
  • EP é o erro padrão (20 horas).
Vamos calcular:
z = 950 - 100020 = -5020 = -2,5

Passo 5

Agora, precisamos verificar se o valor z calculado é significativo. Geralmente, usamos um nível de significância de 5% (0,05) para testes estatísticos. Para um teste bilateral (já que a hipótese alternativa é diferente de 1.000 horas), dividimos o nível de significância por 2 para cada extremidade.
Consultando a tabela z, o valor crítico para 0,025 em cada cauda é aproximadamente ±1,96.
Nosso valor z calculado é -2,5, que é menor que -1,96. Isso significa que está na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Como o valor z calculado (-2,5) é menor que -1,96, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a vida útil média das lâmpadas não é de 1.000 horas, contrariando a afirmação do fabricante.

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