Colocam-se aleatoriamente 30 bolas em 10 urnas distintas. Qual é a probabilidade de que exatamente três urnas sejam deixadas desocupadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: 30 bolas são colocadas aleatoriamente em 10 urnas diferentes. Queremos descobrir qual é a probabilidade de exatamente três urnas ficarem vazias. Estamos lidando com probabilidade combinatória, e para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinações e distribuição de objetos distintos em caixas distintas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de distribuir as 30 bolas nas 10 urnas sem nenhuma restrição. Como as urnas são distintas e as bolas são indistintas, usamos a fórmula das combinações com repetição:
Total de maneiras = binomn + k - 1k - 1
onde $ n = 30 $ (bolas) e $ k = 10 $ (urnas). Então:
n = 30

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas maneiras exatamente três urnas fiquem vazias. Primeiro, precisamos escolher quais 3 das 10 urnas ficarão vazias. Isso é uma combinação simples:
binom103
Depois de escolher as 3 urnas que estarão vazias, restam 7 urnas onde todas as 30 bolas serão distribuídas, sem deixar nenhuma urna vazia. Para isso, usamos novamente a fórmula das combinações com repetição, mas agora com 7 urnas:
binom30 - 17 - 1 = binom296

Passo 4

O número total de maneiras favoráveis em que exatamente três urnas fiquem vazias é o produto das duas combinações que calculamos:
Maneiras favoráveis = binom103 times binom296 á

Passo 5

Finalmente, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis:
Probabilidade = binom103 times binom296binom399
Vamos calcular os valores numéricos:
binom103 = 120
binom296 = 475020
binom399 = 92,378,00
Então:
Probabilidade = 120 times 47502092,378,00 approx 0.6177

Resposta

A probabilidade de que exatamente três urnas sejam deixadas desocupadas é de aproximadamente 61,77%.

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