Uma clínica especializada trata de 3 tipos de doenças: A, B e C. Dos clientes que procuram a clínica 50 % são portadores de A ; 40 % são portadores de B; e 10 % são portadores de C. Um levantamento feito pela clínica mostra que as probabilidades de cura de cada doença são:
  • de 80 % para a doença A ;
  • de 90 % para a doença B;
  • de 95 % para a doença C;
    Um enfermo saiu curado da clínica.
    Qual a probabilidade de que ele não sofresse da doença C ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma clínica que trata três tipos de doenças: A, B e C. Sabemos as porcentagens de pacientes com cada doença e as chances de cura para cada uma delas. Um paciente saiu curado da clínica, e queremos descobrir qual a probabilidade dele não ter tido a doença C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Probabilidades de cada doença:
    • P(A) = 0,50 (50%)
    • P(B) = 0,40 (40%)
    • P(C) = 0,10 (10%)
  • Probabilidades de cura para cada doença:
    • P(Cura|A) = 0,80 (80%)
    • P(Cura|B) = 0,90 (90%)
    • P(Cura|C) = 0,95 (95%)

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que o paciente não tenha tido a doença C, dado que ele foi curado. Isso é representado por P(neg C|Cura).

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a probabilidade total de um paciente ser curado, que é P(Cura). Para isso, usamos a Lei das Probabilidades Totais:
P(Cura) = P(Cura|A)P(A) + P(Cura|B)P(B) + P(Cura|C)P(C)
Substituindo os valores:
P(Cura) = (0,80 times 0,50) + (0,90 times 0,40) + (0,95 times 0,10)
Calculando cada parte:
0,80 times 0,50 = 0,40 0,90 times 0,40 = 0,36 0,95 times 0,10 = 0,095
Somando tudo:
P(Cura) = 0,40 + 0,36 + 0,095 = 0,855
Então, a probabilidade total de um paciente ser curado é 0,855 ou 85,5%.

Passo 5

Agora, queremos encontrar P(neg C|Cura), a probabilidade de o paciente não ter tido a doença C dado que ele foi curado. Primeiro, vamos encontrar P(C|Cura), a probabilidade de ter a doença C dado que foi curado, usando o Teorema de Bayes:
P(C|Cura) = P(Cura|C)P(C)P(Cura)
Substituindo os valores:
P(C|Cura) = 0,95 times 0,100,855 approx 0,0950,855 approx 0,111

Passo 6

Agora, para encontrar P(neg C|Cura), simplesmente subtraímos P(C|Cura) de 1:
P(neg C|Cura) = 1 - P(C|Cura) = 1 - 0,111 = 0,889

Resposta

A probabilidade de que o paciente não tenha sofrido da doença C é aproximadamente 88,9%.

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