O cobre tem estrutura CFC e raio atômico 0,1278 nm. Considerando que os átomos são esferas rígidas que se tocam ao longo das diagonais das faces da célula unitária CFC, calcule o valor teórico da densidade do cobre, em gramas por centímetro cúbico. A massa atômica do cobre é 63,54 g / mol. O valor real da massa específica do cobre é de 8,96 g / cm^3. Houve diferença entre as densidades? Calcule o desvio em porcentagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma questão que trata da densidade teórica do cobre com base na sua estrutura cristalina CFC (Cúbica de Face Centrada). A gente vai precisar usar conceitos de geometria cristalina, massa molar e conversão de unidades. Vamos calcular a densidade teórica e depois comparar com a densidade real para ver se tem diferença.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura CFC. Nessa estrutura, cada célula unitária tem 4 átomos de cobre. Isso porque em uma célula CFC, cada face contribui com meio átomo, e há 6 faces, totalizando 3 átomos. Além disso, cada célula tem 8 cantos, cada um contribuindo com um oitavo de átomo, somando mais 1 átomo. Então, no total: 3 + 1 = 4 átomos por célula.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o raio atômico com o comprimento da aresta da célula unitária. Na estrutura CFC, a diagonal da face da célula unitária pode ser relacionada ao raio atômico. A fórmula que usamos é:
a = 2 raiz2 times r
Onde:
  • $ a $ é o comprimento da aresta da célula unitária.
  • $ r $ é o raio atômico.
Dado que $ r = 0,1278 , nm $, vamos calcular $ a $:
a

Passo 4

Com o comprimento da aresta da célula unitária, podemos calcular o volume da célula. A fórmula é simples:
V = a^3
Então,
V = (0,361)^3 approx 0,047 , nm^3
Mas precisamos converter esse volume para centímetros cúbicos ($ cm^3 $) para compatibilizar com a densidade que queremos. Sabemos que:
cm^3
Portanto,
1 , nm^3 = 1 times 10^-21 , cm^3

Passo 5

Agora, vamos calcular a massa de uma célula unitária de cobre. Sabemos que a massa molar do cobre é $ 63,54 , g/mol $ e que 1 mol contém $ 6,022 \times 10^{23} $ átomos (Número de Avogadro).
Como temos 4 átomos por célula, a massa de uma célula é:
63,54 , g/mol é

Passo 6

Agora, podemos calcular a densidade teórica usando a fórmula:
Densidade = MassaVolume
Substituindo os valores:
Densidade = 4,22 times 10^-22 , g4,7 times 10^-23 , cm^3 approx 8,98 , g/cm^3

Passo 7

Por fim, vamos comparar a densidade teórica que calculamos com a densidade real do cobre, que é $ 8,96 , g/cm^3 $.
Para calcular o desvio percentual:
8,96 , g/cm^3 ó
Substituindo os valores:
Desvio = ( Densidade teórica - Densidade realDensidade real ) times 100%

Resposta

A densidade teórica do cobre é aproximadamente $ 8,98 , g/cm^3 $. Comparando com a densidade real de $ 8,96 , g/cm^3 $, houve um desvio de cerca de 0,22%.

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