O cobre tem estrutura CFC e raio atômico
. Considerando que os átomos são esferas rígidas que se tocam ao longo das diagonais das faces da célula unitária CFC, calcule o valor teórico da densidade do cobre, em gramas por centímetro cúbico. A massa atômica do cobre é
. O valor real da massa específica do cobre é de
. Houve diferença entre as densidades? Calcule o desvio em porcentagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma questão que trata da densidade teórica do cobre com base na sua estrutura cristalina CFC (Cúbica de Face Centrada). A gente vai precisar usar conceitos de geometria cristalina, massa molar e conversão de unidades. Vamos calcular a densidade teórica e depois comparar com a densidade real para ver se tem diferença.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura CFC. Nessa estrutura, cada célula unitária tem 4 átomos de cobre. Isso porque em uma célula CFC, cada face contribui com meio átomo, e há 6 faces, totalizando 3 átomos. Além disso, cada célula tem 8 cantos, cada um contribuindo com um oitavo de átomo, somando mais 1 átomo. Então, no total: 3 + 1 = 4 átomos por célula.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o raio atômico com o comprimento da aresta da célula unitária. Na estrutura CFC, a diagonal da face da célula unitária pode ser relacionada ao raio atômico. A fórmula que usamos é:
Onde:
- $ a $ é o comprimento da aresta da célula unitária.
- $ r $ é o raio atômico.
Dado que $ r = 0,1278 , nm $, vamos calcular $ a $:
Passo 4
Com o comprimento da aresta da célula unitária, podemos calcular o volume da célula. A fórmula é simples:
Então,
Mas precisamos converter esse volume para centímetros cúbicos ($ cm^3 $) para compatibilizar com a densidade que queremos. Sabemos que:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a massa de uma célula unitária de cobre. Sabemos que a massa molar do cobre é $ 63,54 , g/mol $ e que 1 mol contém $ 6,022 \times 10^{23} $ átomos (Número de Avogadro).
Como temos 4 átomos por célula, a massa de uma célula é:
Passo 6
Agora, podemos calcular a densidade teórica usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Por fim, vamos comparar a densidade teórica que calculamos com a densidade real do cobre, que é $ 8,96 , g/cm^3 $.
Para calcular o desvio percentual:
Substituindo os valores:
Resposta
A densidade teórica do cobre é aproximadamente $ 8,98 , g/cm^3 $. Comparando com a densidade real de $ 8,96 , g/cm^3 $, houve um desvio de cerca de 0,22%.