Sobre a estrutura Hexagonal Compacto:
(a) Demonstre que a área da base do hexágono é:
A hexagono =a^2 3 raiz32
(b) Mostre que o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina HC vale 0,74.
Dados: considere que a altura (h) do hexágono é:
h=c,
em que c / a=1,633, a=aresta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a estrutura Hexagonal Compacta! O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Mostrar que a área da base de um hexágono é $ A_{hexágono} = a^{2} \frac{3 \sqrt{3}}{2} $.
b) Demonstrar que o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina HC é 0,74.
Para isso, vamos usar um pouco de geometria para o primeiro item e conceitos de arranjo atômico no segundo. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área de um hexágono regular. Um hexágono regular tem todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais. A fórmula geral para a área de um polígono regular é:
A = 12 times Perímetro times Apótema íó
No caso do hexágono, o perímetro é $ 6a $, já que tem seis lados de comprimento $ a $. Agora, precisamos achar a apótema, que é a distância do centro do hexágono até o meio de um dos lados.

Passo 3

A apótema ($ a_p $) de um hexágono regular pode ser encontrada usando trigonometria. Sabemos que em um hexágono regular, cada triângulo formado pelo centro e dois vértices tem um ângulo de 60 graus.
Usando o triângulo equilátero, a apótema é:
ap

Passo 4

Agora, substituímos o perímetro e a apótema na fórmula da área:
A = 12 times 6a times ( a times raiz32 ) = 6a times a times raiz34 = 6a^2 raiz34 = 3a^2 raiz32
Então, chegamos à expressão:
Ahexágono = a^2 3 raiz32 á

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). O fator de empacotamento atômico ($ P $) é a fração do volume que é efetivamente ocupada pelos átomos em uma estrutura cristalina. Para a estrutura hexagonal compacta (HC), precisamos calcular essa fração.
A fórmula geral para o fator de empacotamento é:
P úáéááéá

Passo 6

Na estrutura HC, cada célula unitária contém 6 átomos nas posições das faces e 2 no centro, totalizando 6 + 2 = 8 átomos por célula unitária.
Considerando que os átomos são esferas de raio $ r $, o volume de um átomo é $ \frac{4}{3} \pi r^{3} $.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o volume da célula unitária. Na estrutura hexagonal, a célula unitária é um prisma hexagonal. O volume $ V $ de um prisma é a área da base vezes a altura:
V
Já calculamos a área da base no item (a), que é $ A_{hexágono} = a^{2} \frac{3 \sqrt{3}}{2} $.
A altura $ h $ do hexágono é dada por $ h = c = 1,633a $.
Então, o volume da célula unitária é:
V = Abase times h

Passo 8

Agora, colocando tudo na fórmula do fator de empacotamento:
P = 8 times 43 pi r^33 raiz32 times 1,633 times a^3
Sabemos que, para empacotamento eficiente, $ a = 2r $, já que os átomos estão tocando uns aos outros.
Substituindo $ a = 2r $:
a = 2r

Passo 9

Substituindo na fórmula:
P = 8 times 43 pi r^33 raiz32 times 1,633 times 8r^3 = 323 pi r^3 3 raiz3 times 1,633 times 8r^32 = 323 pi 3 raiz3 times 1,633 times 82

Passo 10

Simplificando os termos:
P = 32 pi3 div ( 3 raiz3 times 1,633 times 82 ) = 32 pi3 times 23 raiz3 times 1,633 times 8
Calculando os números:
P approx 32 times 3,14163 times 23 times 1,732 times 1,633 times 8 approx 100,53123 times 267,617 approx 33,5104 times 0,0296 approx 0,74

Resposta

Portanto, o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina HC é aproximadamente 0,74.

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