Calcule a energia para a formação de lacunas no alumínio, sabendo que o número de lacunas em equilíbrio na temperatura de 500^circ C(773 K) é de 7,57 times 10^23 m^-3. A massa específica ( 500^circ C ) para o alumínio é 2,62 g / cm^3. Calcular nas duas unidades:
(a) eV/átomo;
(b) J/átomo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a energia necessária para formar lacunas no alumínio a uma temperatura de 500^circ C (que é 773 K). A gente sabe que o número de lacunas em equilíbrio nessa temperatura é de 7,57 times 10^23 m^-3 e a massa específica do alumínio é 2,62 g/cm^3. Precisamos encontrar essa energia nas unidades de eV por átomo e em J por átomo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre termodinâmica dos sólidos e como calcular a energia de formação de lacunas usando a equação de equilíbrio de vacâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as lacunas (ou vacâncias) são falhas na estrutura cristalina onde átomos estão “faltando”. A quantidade de lacunas em equilíbrio depende da temperatura e da energia necessária para criar essas lacunas.
A equação que relaciona o número de lacunas nv com a energia de formação das lacunas Ev é dada por:
nv = N exp(-EvkT)
Aqui:
  • N é o número total de sítios atômicos por unidade de volume.
  • k é a constante de Boltzmann ( 8,617 times 10^-5 eV/K ou 1,381 times 10^-23 J/K).
  • T é a temperatura em Kelvin.
Nosso objetivo é encontrar Ev, então vamos reorganizar a equação para isolá-lo.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular N, o número total de sítios atômicos por metro cúbico. Para isso, vamos usar a massa específica do alumínio e sua massa molar.
A massa específica ( rho) é 2,62 g/cm^3, que vamos converter para kg/m³:
2,62 g/cm^3 = 2620 kg/m^3
A massa molar do alumínio ( M) é aproximadamente 26,98 g/mol.
Agora, o número de átomos por unidade de volume N é:
N = rho NAM
Onde NA é a constante de Avogadro ( 6,022 times 10^23 átomos/molá).
Vamos calcular:
N = 2620 kg/m^3 times 6,022 times 10^23 átomos/mol0,02698 kg/mol approx 5,85 times 10^28 átomos/m^3 áá

Passo 4

Agora que temos N, vamos isolar Ev na equação original:
nv = N exp(-EvkT)
Rearranjando:
exp(-EvkT) = nvN
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
-EvkT = ln(nvN)
Multiplicando ambos os lados por -kT:
Ev = -kT ln(nvN)

Passo 5

Agora vamos substituir os valores na equação para encontrar Ev. Primeiro, precisamos escolher as unidades para k. Vamos fazer parte (a) em eV/átomo e parte (b) em J/átomo.
Parte (a): Em eV/átomo
Usaremos k = 8,617 times 10^-5 eV/K e T = 773 K.
Calculando:
Ev = - (8,617 times 10^-5 eV/K) times 773 K times ln(7,57 times 10^235,85 times 10^28)
Primeiro, calculamos a fração dentro do logaritmo:
7,57 times 10^235,85 times 10^28 approx 1,295 times 10^-5
Então:
ln(1,295 times 10^-5) approx -11,252
Agora, multiplicando:
Ev = - (8,617 times 10^-5) times 773 times (-11,252) approx 0,749 eV/átomo á
Parte (b): Em J/átomo
Agora, usamos k = 1,381 times 10^-23 J/K:
Ev = - (1,381 times 10^-23 J/K) times 773 K times ln(7,57 times 10^235,85 times 10^28)
Usando o mesmo valor para o logaritmo:
Ev = - (1,381 times 10^-23) times 773 times (-11,252) approx 1,202 times 10^-19 J/átomo á

Resposta

(a) A energia de formação de lacunas no alumínio é aproximadamente 0,749 eV/átomoá.
(b) A energia de formação de lacunas no alumínio é aproximadamente 1,202 times 10^-19 J/átomoá.

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