Calcule a energia para a formação de lacunas no alumínio, sabendo que o número de lacunas em equilíbrio na temperatura de
é de
. A massa específica (
) para o alumínio é
. Calcular nas duas unidades:
(a) eV/átomo;
(b) J/átomo.
(a) eV/átomo;
(b) J/átomo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a energia necessária para formar lacunas no alumínio a uma temperatura de
(que é 773 K). A gente sabe que o número de lacunas em equilíbrio nessa temperatura é de
e a massa específica do alumínio é
. Precisamos encontrar essa energia nas unidades de eV por átomo e em J por átomo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre termodinâmica dos sólidos e como calcular a energia de formação de lacunas usando a equação de equilíbrio de vacâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as lacunas (ou vacâncias) são falhas na estrutura cristalina onde átomos estão “faltando”. A quantidade de lacunas em equilíbrio depende da temperatura e da energia necessária para criar essas lacunas.
A equação que relaciona o número de lacunas
com a energia de formação das lacunas
é dada por:
Aqui:
-
é o número total de sítios atômicos por unidade de volume. -
é a constante de Boltzmann ( ou ). -
é a temperatura em Kelvin.
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos reorganizar a equação para isolá-lo.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular
, o número total de sítios atômicos por metro cúbico. Para isso, vamos usar a massa específica do alumínio e sua massa molar.
A massa específica (
) é
, que vamos converter para kg/m³:
A massa molar do alumínio (
) é aproximadamente
.
Agora, o número de átomos por unidade de volume
é:
Onde
é a constante de Avogadro (
).
Vamos calcular:
Passo 4
Agora que temos
, vamos isolar
na equação original:
Rearranjando:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora vamos substituir os valores na equação para encontrar
. Primeiro, precisamos escolher as unidades para
. Vamos fazer parte (a) em eV/átomo e parte (b) em J/átomo.
Parte (a): Em eV/átomo
Usaremos
e
.
Calculando:
Primeiro, calculamos a fração dentro do logaritmo:
Então:
Agora, multiplicando:
Parte (b): Em J/átomo
Agora, usamos
:
Usando o mesmo valor para o logaritmo:
Resposta
(a) A energia de formação de lacunas no alumínio é aproximadamente
.
(b) A energia de formação de lacunas no alumínio é aproximadamente
.