O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de massa M=130 g e a superfície horizontal, mostrados na figura abaixo, é desconhecido. A massa suspensa m=100 g encontra-se inicialmente a uma altura H= 50 cm acima do solo. Despreze a massa e o atrito na roldana, bem como a massa do fio. Mostre que, para valores quaisquer de M, m e H , a velocidade do sistema no instante em que m toca o chão é: v=[2 g H(m-muc Mm+M)]^1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um bloco de massa sobre uma superfície horizontal com um coeficiente de atrito cinético desconhecido . Tem também uma massa suspensa presa por um fio que passa por uma roldana. A massa está a uma altura do chão e quando ela desce até o chão, a gente quer descobrir a velocidade do sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e forças, e calcular todo o caminho passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias e forças envolvidas. A massa suspensa tem energia potencial gravitacional porque está a uma altura . Quando ela cai, essa energia se transforma em energia cinética do sistema todo (bloco e massa ) e também em trabalho feito pela força de atrito que está atrapalhando o movimento do bloco .

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial inicial da massa U = m cdot g cdot H . A fórmula para energia potencial é:
m cdot g cdot H = 12 (M + m) v^2 + muc cdot M cdot g cdot H
onde é a aceleração da gravidade ( ). Essa energia vai se transformar na energia cinética do sistema e no trabalho da força de atrito:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar m cdot g cdot H - muc cdot M cdot g cdot H = 12 (M + m) v^2 . Primeiro, vamos subtrair o trabalho da força de atrito dos dois lados:
g cdot H (m - muc cdot M) = 12 (M + m) v^2
Fatorando 2 g cdot H (m - muc cdot M) = (M + m) v^2 do lado esquerdo:
v^2 = 2 g cdot H (m - muc cdot M)M + m
Multiplicando ambos os lados por 2:
Finalmente, isolando :

Passo 5

Para encontrar v = raiz 2 g cdot H (m - muc cdot M)M + m , tiramos a raiz quadrada dos dois lados da equação:
v = [ 2 g H ( m - muc Mm + M ) ]^1/2
Ou, reescrevendo de uma forma mais organizada:

Resposta

A velocidade do sistema no instante em que v = [2 g H(m-muc Mm+M)]^1 / 2 toca o chão é:

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