Mostre que o trabalho realizado pela força gravitacional sobre um corpo de massa
, quando este é deslocado sobre qualquer uma das quatro trajetórias indicadas na figura, vale sempre:
onde
e
identificam as coordenadas verticais inicial e final do corpo, e g é a aceleração local da gravidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional sobre um corpo de massa
ao se deslocar em qualquer uma das quatro trajetórias sempre vale
. Isso está dentro da matéria de Trabalho e Energia na Física, especificamente sobre forças conservativas como a gravidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho feito por uma força e usar as propriedades da força gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho (
) realizado por uma força é dado pela integral da força ao longo do deslocamento. No caso da força gravitacional, ela atua verticalmente para baixo e tem magnitude
.
Passo 3
Como a força da gravidade só tem componente vertical, o deslocamento que interessa para o trabalho é a variação na coordenada vertical, ou seja,
. Então, o trabalho feito pela gravidade será:
O sinal negativo aparece porque a força gravitacional está na direção oposta ao deslocamento positivo
(se considerarmos
para cima).
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral:
Passo 5
Então, simplificando, temos:
Isso mostra que o trabalho feito pela força gravitacional depende apenas das posições inicial e final na vertical, e não do caminho seguido, confirmando que a gravidade é uma força conservativa.