Mostre que o trabalho realizado pela força gravitacional sobre um corpo de massa m, quando este é deslocado sobre qualquer uma das quatro trajetórias indicadas na figura, vale sempre: W-m g=-(m g yf-m g yi) onde yi e yf identificam as coordenadas verticais inicial e final do corpo, e g é a aceleração local da gravidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o trabalho realizado pela força gravitacional sobre um corpo de massa ao se deslocar em qualquer uma das quatro trajetórias sempre vale . Isso está dentro da matéria de Trabalho e Energia na Física, especificamente sobre forças conservativas como a gravidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho feito por uma força e usar as propriedades da força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( ) realizado por uma força é dado pela integral da força ao longo do deslocamento. No caso da força gravitacional, ela atua verticalmente para baixo e tem magnitude .

Passo 3

Como a força da gravidade só tem componente vertical, o deslocamento que interessa para o trabalho é a variação na coordenada vertical, ou seja, W-mg = integralyi^yf (-m g) , dy . Então, o trabalho feito pela gravidade será:
O sinal negativo aparece porque a força gravitacional está na direção oposta ao deslocamento positivo (se considerarmos para cima).

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral:
W-mg = -m g integralyi^yf dy
W-mg = -m g [ y ]yi^yf
W-mg = -m g (yf - yi)

Passo 5

Então, simplificando, temos:
W-mg = -( m g yf - m g yi )
Isso mostra que o trabalho feito pela força gravitacional depende apenas das posições inicial e final na vertical, e não do caminho seguido, confirmando que a gravidade é uma força conservativa.

Resposta

W-m g = -(m g yf - m g yi)

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