O coeficiente de atrito estático entre um plano inclinado, que faz um ângulo theta com a horizontal, e um bloco posicionado sobre este plano vale mue. Calcule o ângulo máximo thetamax de inclinação do plano para que o bloco não comece a se movimentar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um bloco parado em um plano inclinado que faz um ângulo theta com a horizontal. A gente sabe o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano, que é mue. Nosso objetivo é encontrar o ângulo máximo thetamax que o plano pode ter para que o bloco não comece a deslizar. Para isso, vamos precisar entender as forças atuando no bloco e como o atrito estático impede o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco. Tem a força da gravidade, que puxa o bloco para baixo (verticalmente). Como o plano está inclinado, essa força pode ser decomposta em duas partes: uma paralela ao plano e outra perpendicular ao plano. Além disso, temos a força de atrito estático que atua na direção oposta ao movimento que tentaria ocorrer.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de corpo livre para visualizar melhor. A força da gravidade mg pode ser dividida em:
  • mg sintheta: puxando o bloco para baixo ao longo do plano.
  • mg costheta: perpendicular ao plano, pressionando o bloco contra a superfície.
A força de atrito estático fa age contra o movimento, ou seja, para cima do plano.

Passo 4

Como o bloco está em equilíbrio (não se move), a força de atrito estático é igual à componente da gravidade paralela ao plano. Então, temos:
fa = mg sintheta
Sabemos que o atrito estático máximo é dado por:
famáx = mue cdot N á
onde N é a força normal. No nosso caso, N = mg costheta.

Passo 5

Como fa = famáxá para o ângulo máximo, podemos igualar as expressões:
mg sintheta = mue cdot mg costheta
Os termos mg se cancelam dos dois lados:
sintheta = mue costheta

Passo 6

Dividindo ambos os lados por costheta para isolar a tangente:
sinthetacostheta = mue
tantheta = mue

Passo 7

Para encontrar o ângulo máximo thetamax, aplicamos a função arco-tangente:
thetamax = tan^-1(mue)

Resposta

O ângulo máximo de inclinação é dado por:
thetamax = tan^-1(mue)

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