O coeficiente de compressibilidade beta definido por beta=-(1V)(partial Vpartial p)T. Usando a equação de estado, calcule o valor de beta para um gás ideal.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o coeficiente de compressibilidade para um gás ideal. Para isso, vamos trabalhar com a definição de e utilizar a equação de estado dos gases ideais. Precisaremos entender o que é o coeficiente de compressibilidade e como aplicar a equação de estado para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do coeficiente de compressibilidade. Ele é dado por:
beta = -(1V)(partial Vpartial p)T
Isso significa que mede o quanto o volume de um gás muda quando a pressão varia, mantendo a temperatura constante.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a equação de estado dos gases ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura:
pV = nRT
Para simplificar, podemos considerar pV = RT mol, então a equação fica:

Passo 4

Queremos expressar V = RTp em função de partial Vpartial p = partialpartial p(RTp) = -RTp^2 para poder derivar. Isolando :
Agora, vamos calcular a derivada de em relação à pressão , mantendo a temperatura constante:

Passo 5

Substituímos a derivada encontrada na definição do beta = -(1V)(-RTp^2) = RTp^2 V :
beta = pVp^2 V = 1p
Mas sabemos que da equação de estado , então . Substituindo:

Resposta

O coeficiente de compressibilidade beta = 1p para um gás ideal é igual a .

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