Qual o coeficiente de
no desenvolvimento de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede o coeficiente de $ x^{5} y^{3} $ no desenvolvimento de $ (x - 2y)^{8} $. Para isso, vamos usar o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir expressões como essa. Precisamos entender como aplicar esse teorema passo a passo para achar o coeficiente que estamos procurando.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Binomial. Ele diz que
pode ser expandido em uma soma de termos da forma:
onde
é o coeficiente binomial, que calcula quantas maneiras existem de escolher
elementos entre
.
Passo 3
No nosso caso, a expressão é $ (x - 2y)^{8} $. Vamos identificar
e
:
Então, a expansão fica:
Passo 4
Queremos encontrar o termo onde a potência de
é 5 e a de
é 3, ou seja,
. Observando
e
, temos:
Então, vamos calcular o termo correspondente a
.
Passo 5
Aplicando
na fórmula do termo geral:
Calculando o coeficiente:
Então, o coeficiente é:
Resposta
O coeficiente de $ x^{5} y^{3} $ no desenvolvimento de $ (x - 2y)^{8} $ é -448.