Qual o coeficiente de x^5 y^3 no desenvolvimento de (x-2 y)^8?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede o coeficiente de $ x^{5} y^{3} $ no desenvolvimento de $ (x - 2y)^{8} $. Para isso, vamos usar o Teorema Binomial, que nos ajuda a expandir expressões como essa. Precisamos entender como aplicar esse teorema passo a passo para achar o coeficiente que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Binomial. Ele diz que (a + b)^n pode ser expandido em uma soma de termos da forma:
binomnk a^n-k b^k
onde binomnk é o coeficiente binomial, que calcula quantas maneiras existem de escolher k elementos entre n.

Passo 3

No nosso caso, a expressão é $ (x - 2y)^{8} $. Vamos identificar (x - 2y)^8 e a:
  • b
  • a = x
  • b = -2y
Então, a expansão fica:
n = 8

Passo 4

Queremos encontrar o termo onde a potência de x é 5 e a de y é 3, ou seja, x^5 y^3. Observando x^8-k e y^k, temos:
8 - k = 5 Rightarrow k = 3
Então, vamos calcular o termo correspondente a k = 3.

Passo 5

Aplicando k = 3 na fórmula do termo geral:
binom83 x^8-3 (-2y)^3 = binom83 x^5 (-2)^3 y^3
Calculando o coeficiente:
binom83 = 8!3!(8-3)! = 56
(-2)^3 = -8
Então, o coeficiente é:
56 times (-8) = -448

Resposta

O coeficiente de $ x^{5} y^{3} $ no desenvolvimento de $ (x - 2y)^{8} $ é -448.

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