Considere a relação R=(1,1),(1,2),(1,4),(2,4),(3,2),(3,4) definida em A=1,2,3,4. Calcule também a matriz MR^2 da relação R^2=R R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma relação $ R = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,4),(3,2),(3,4)} $ definida no conjunto $ A = {1,2,3,4} $. O objetivo é calcular a matriz $ M_{R^{2}} $ da relação $ R^{2} = R \circ R $ (ou seja, a composição de $ R $ com ela mesma). Para isso, vamos precisar entender como funciona a composição de relações e como representá-las em uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é uma relação e como representá-la em uma matriz. Uma relação $ R $ em um conjunto $ A $ é um conjunto de pares ordenados. A matriz da relação $ M_R $ é uma matriz quadrada onde as linhas e colunas correspondem aos elementos de $ A $. Se o par $ (i,j) $ está em $ R $, então o elemento na linha $ i $ e coluna $ j $ da matriz $ M_R $ é 1; caso contrário, é 0.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a composição de duas relações. A composição $ R \circ R $ (ou $ R^{2} $) consiste em todos os pares $ (a,c) $ tais que existe um elemento $ b $ em $ A $ com $ (a,b) \in R $ e $ (b,c) \in R $. Em termos de matrizes, isso corresponde à multiplicação da matriz $ M_R $ por ela mesma.

Passo 4

Vamos construir a matriz $ M_R $ com base na relação dada. O conjunto $ A = {1,2,3,4} $, então nossa matriz será 4x4. Vamos preencher a matriz colocando 1 nas posições correspondentes aos pares da relação e 0 nas demais.
MR

Passo 5

Para encontrar $ M_{R^{2}} $, vamos multiplicar $ M_R $ por ela mesma:
MR^2
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 6

Multiplicando as matrizes:
MR^2 = 1 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 times 1 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1
Vamos calcular cada elemento de $ M_{R^{2}} $ multiplicando e somando os elementos correspondentes.

Passo 7

Calculando cada elemento de $ M_{R^{2}} $:
MR^2
Simplificando cada elemento:
MR^2 = 1cdot1 + 1cdot0 + 0cdot0 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot0 + 0cdot0 + 1cdot1 & 1cdot0 + 1cdot0 + 0cdot0 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot1 + 0cdot0 + 1cdot1 0cdot1 + 0cdot0 + 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot1 + 0cdot0 + 0cdot0 + 1cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 + 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot1 + 0cdot1 + 0cdot0 + 1cdot1 0cdot1 + 1cdot0 + 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot0 + 0cdot0 + 1cdot1 & 0cdot0 + 1cdot0 + 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot1 + 0cdot0 + 1cdot1 0cdot1 + 0cdot0 + 0cdot0 + 0cdot0 & 0cdot1 + 0cdot0 + 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 + 0cdot0 + 0cdot0 & 0cdot1 + 0cdot1 + 0cdot0 + 0cdot1
O que resulta em:
MR^2 = 1 + 0 + 0 + 0 & 1 + 0 + 0 + 1 & 0 + 0 + 0 + 0 & 1 + 1 + 0 + 1 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 1 & 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 1 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 1 & 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 1 + 0 + 1 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 + 0

Resposta

A matriz $ M_{R^{2}} $ da relação $ R^{2} $ é:
MR^2

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