Considere a relação
definida em
. Calcule também a matriz
da relação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma relação $ R = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,4),(3,2),(3,4)} $ definida no conjunto $ A = {1,2,3,4} $. O objetivo é calcular a matriz $ M_{R^{2}} $ da relação $ R^{2} = R \circ R $ (ou seja, a composição de $ R $ com ela mesma). Para isso, vamos precisar entender como funciona a composição de relações e como representá-las em uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é uma relação e como representá-la em uma matriz. Uma relação $ R $ em um conjunto $ A $ é um conjunto de pares ordenados. A matriz da relação $ M_R $ é uma matriz quadrada onde as linhas e colunas correspondem aos elementos de $ A $. Se o par $ (i,j) $ está em $ R $, então o elemento na linha $ i $ e coluna $ j $ da matriz $ M_R $ é 1; caso contrário, é 0.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a composição de duas relações. A composição $ R \circ R $ (ou $ R^{2} $) consiste em todos os pares $ (a,c) $ tais que existe um elemento $ b $ em $ A $ com $ (a,b) \in R $ e $ (b,c) \in R $. Em termos de matrizes, isso corresponde à multiplicação da matriz $ M_R $ por ela mesma.
Passo 4
Vamos construir a matriz $ M_R $ com base na relação dada. O conjunto $ A = {1,2,3,4} $, então nossa matriz será 4x4. Vamos preencher a matriz colocando 1 nas posições correspondentes aos pares da relação e 0 nas demais.
Passo 5
Para encontrar $ M_{R^{2}} $, vamos multiplicar $ M_R $ por ela mesma:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Passo 6
Multiplicando as matrizes:
Vamos calcular cada elemento de $ M_{R^{2}} $ multiplicando e somando os elementos correspondentes.
Passo 7
Calculando cada elemento de $ M_{R^{2}} $:
Simplificando cada elemento:
O que resulta em:
Resposta
A matriz $ M_{R^{2}} $ da relação $ R^{2} $ é: