Considere o conjunto
e a relação binária
definida em
por
Justifique se a relação
é ou não reflexiva.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, que é simplesmente o conjunto de todos os pares de números inteiros. A relação $ R $ está definida entre pares desse conjunto da seguinte maneira:
O exercício pede para justificarmos se essa relação $ R $ é reflexiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma relação ser reflexiva e como aplicar isso à definição dada de $ R $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação reflexiva. Uma relação $ R $ em um conjunto $ A $ é dita reflexiva se, para todo elemento $ a \in A $, o par $ (a, a) $ pertence a $ R $. Em outras palavras, cada elemento está relacionado consigo mesmo.
No nosso caso, precisamos verificar se, para qualquer par $ (x_1, x_2) \in A $, o par $ ((x_1, x_2), (x_1, x_2)) $ está em $ R $.
Passo 3
Vamos aplicar a definição de $ R $ para verificar a reflexividade. Precisamos verificar se:
Simplificando, isso fica:
Para que a relação seja reflexiva, essa equivalência deve ser verdadeira para todo $ (x_1, x_2) \in A $.
Passo 4
Agora, vamos analisar a equivalência $ 2x_1 \equiv_{5} 2x_2 $. Isso significa que a diferença $ 2x_1 - 2x_2 $ deve ser um múltiplo de 5:
Simplificando ainda mais, temos:
Já que $ \gcd(2,5) = 1 $, a condição é que $ x_1 \equiv x_2 \pmod{5} $.
Passo 5
Para que $ R $ seja reflexiva, a condição $ x_1 \equiv x_2 \pmod{5} $ deve ser verdadeira para todo par $ (x_1, x_2) \in A $. No entanto, isso não acontece para todos os pares de inteiros. Por exemplo, se escolhermos $ (x_1, x_2) = (1, 2) $, temos que:
Então, o par $ ((1, 2), (1, 2)) $ não pertence a $ R $, o que significa que $ R $ não satisfaz a condição de ser reflexiva para todos os elementos de $ A $.
Resposta
A relação $ R $ não é reflexiva.