Considere o conjunto
e a relação binária
definida em
por
Indique um par
tal que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, que representa todos os pares de números inteiros. A relação binária $ R $ está definida de forma que, para dois pares
em $ A \times A $, eles estão relacionados se a soma das primeiras coordenadas for congruente à soma das segundas coordenadas módulo 5. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma relação binária, como funciona a congruência módulo e, então, encontrar um par que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos detalhar a definição da relação $ R $. A relação é dada por:
Isso significa que dois pares
e
estão relacionados se a soma das primeiras coordenadas (
) for equivalente à soma das segundas coordenadas (
) quando dividida por 5. Em termos matemáticos, isso quer dizer que:
Ou seja, a diferença entre essas duas somas deve ser múltiplo de 5.
Passo 3
Agora, vamos escolher um par
dentro de $ A \times A $ que satisfaça a relação $ R $. Para simplificar, vamos escolher valores inteiros pequenos.
Vamos tentar com:
- $ x = (3, 1) $
- $ y = (2, 4) $
Passo 4
Vamos verificar se esse par satisfaz a relação $ R $:
-
Soma das primeiras coordenadas:
-
Soma das segundas coordenadas:
-
Diferença das somas:
Como $ 0 $ é múltiplo de 5 ($ 0 \equiv 0 \pmod{5} $), a condição é satisfeita.
Resposta
Um par que satisfaz a relação $ R $ é $ x = (3,\ 1) $ e $ y = (2,\ 4) $, pois $ 3 + 2 \equiv_5 1 + 4 $.