Considere o conjunto A=Z times Z e a relação binária R definida em A por
R=((x1, x2),(y1, y2)) in A times A mid x1+y1 equiv5 x2+y2
Indique um par (x, y) in A times A tal que (x, y) in R.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto $ A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, que representa todos os pares de números inteiros. A relação binária $ R $ está definida de forma que, para dois pares A = Z times Z em $ A \times A $, eles estão relacionados se a soma das primeiras coordenadas for congruente à soma das segundas coordenadas módulo 5. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma relação binária, como funciona a congruência módulo e, então, encontrar um par que satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos detalhar a definição da relação $ R $. A relação é dada por:
R
Isso significa que dois pares R = ( (x1, x2), (y1, y2) ) in A times A mid x1 + y1 equiv5 x2 + y2 e (x1, x2) estão relacionados se a soma das primeiras coordenadas ( (y1, y2)) for equivalente à soma das segundas coordenadas ( x1 + y1) quando dividida por 5. Em termos matemáticos, isso quer dizer que:
x2 + y2
Ou seja, a diferença entre essas duas somas deve ser múltiplo de 5.

Passo 3

Agora, vamos escolher um par (x, y) dentro de $ A \times A $ que satisfaça a relação $ R $. Para simplificar, vamos escolher valores inteiros pequenos.
Vamos tentar com:
  • $ x = (3, 1) $
  • $ y = (2, 4) $

Passo 4

Vamos verificar se esse par satisfaz a relação $ R $:
  1. Soma das primeiras coordenadas:
    R
  2. Soma das segundas coordenadas:
    x1 + y1 = 3 + 2 = 5
  3. Diferença das somas:
    x2 + y2 = 1 + 4 = 5
Como $ 0 $ é múltiplo de 5 ($ 0 \equiv 0 \pmod{5} $), a condição é satisfeita.

Resposta

Um par que satisfaz a relação $ R $ é $ x = (3,\ 1) $ e $ y = (2,\ 4) $, pois $ 3 + 2 \equiv_5 1 + 4 $.

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