Seja
, uma relação em
. Indique o fecho transitivo de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação
no conjunto
. A tarefa é encontrar o fecho transitivo dessa relação. Para isso, vamos precisar saber o que significa uma relação ser transitiva e como construir o fecho transitivo com os pares fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação transitiva. Uma relação
é transitiva se, sempre que
e
, então
. O fecho transitivo de
é a menor relação transitiva que contém todos os pares de
. Basicamente, vamos adicionar todos os pares necessários para que a relação seja transitiva.
Passo 3
Vamos começar com a relação dada:
Vamos verificar se essa relação já é transitiva e, se não for, quais pares precisamos adicionar para torná-la transitiva.
Passo 4
Primeiro, analisamos cada par de
para verificar a propriedade da transitividade:
Vamos verificar combinações desses pares para ver se precisamos adicionar novos pares.
Passo 5
Vamos verificar as combinações:
- Combinação 1:
e devem implicar . Já está em . - Combinação 2:
e devem implicar . Não está em , então precisamos adicionar . - Combinação 3:
e devem implicar . Já está em . - Combinação 4:
e devem implicar . Não está em , então adicionamos . - Combinação 5:
e devem implicar . Já está em . - Combinação 6:
e devem implicar . Não está em , então adicionamos . - Combinação 7:
não tem outro par que comece com , então não precisamos adicionar nada aqui.
Passo 6
Após essa verificação, adicionamos os pares
,
e
. Agora, a relação fica assim:
Passo 7
Agora, precisamos verificar novamente a relação
para garantir que ela seja transitiva:
- Verificação 1:
e devem implicar . Não está em , então adicionamos . - Verificação 2:
e devem implicar . Já está em . - Verificação 3:
e devem implicar . Já está em . - Verificação 4:
e devem implicar . Já está em . - Verificação 5: Outras combinações já estão satisfeitas.
Passo 8
Adicionamos o par
. Agora, a relação fica:
Passo 9
Vamos verificar novamente se a relação
é transitiva:
- Verificação 1:
e devem implicar . Já está em . - Verificação 2:
e devem implicar . Já está em . - Verificação 3:
e devem implicar . Já está em . - Verificação 4: Todas as outras combinações também estão satisfeitas.
Passo 10
Não há mais pares para adicionar, então a relação
é o fecho transitivo de
.
Resposta
O fecho transitivo de
é