Seja R=(a, b),(b, b),(b, c),(c, c),(c, d),(d, c),(e, d), uma relação em a, b, c, d, e. Indique o fecho transitivo de R.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação R no conjunto a, b, c, d, e. A tarefa é encontrar o fecho transitivo dessa relação. Para isso, vamos precisar saber o que significa uma relação ser transitiva e como construir o fecho transitivo com os pares fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação transitiva. Uma relação R é transitiva se, sempre que (x, y) in R e (y, z) in R, então (x, z) in R. O fecho transitivo de R é a menor relação transitiva que contém todos os pares de R. Basicamente, vamos adicionar todos os pares necessários para que a relação seja transitiva.

Passo 3

Vamos começar com a relação dada:
R = (a, b), (b, b), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c), (e, d)
Vamos verificar se essa relação já é transitiva e, se não for, quais pares precisamos adicionar para torná-la transitiva.

Passo 4

Primeiro, analisamos cada par de R para verificar a propriedade da transitividade:
  1. (a, b)
  2. (b, b)
  3. (b, c)
  4. (c, c)
  5. (c, d)
  6. (d, c)
  7. (e, d)
Vamos verificar combinações desses pares para ver se precisamos adicionar novos pares.

Passo 5

Vamos verificar as combinações:
  • Combinação 1: (a, b) e (b, b) devem implicar (a, b). Já está em R.
  • Combinação 2: (a, b) e (b, c) devem implicar (a, c). Não está em R, então precisamos adicionar (a, c).
  • Combinação 3: (b, b) e (b, c) devem implicar (b, c). Já está em R.
  • Combinação 4: (b, c) e (c, d) devem implicar (b, d). Não está em R, então adicionamos (b, d).
  • Combinação 5: (c, d) e (d, c) devem implicar (c, c). Já está em R.
  • Combinação 6: (d, c) e (c, d) devem implicar (d, d). Não está em R, então adicionamos (d, d).
  • Combinação 7: (e, d) não tem outro par que comece com d, então não precisamos adicionar nada aqui.

Passo 6

Após essa verificação, adicionamos os pares (a, c), (b, d) e (d, d). Agora, a relação fica assim:
R' = , (a, b), (b, b), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c), (e, d), (a, c), (b, d), (d, d) ,

Passo 7

Agora, precisamos verificar novamente a relação R' para garantir que ela seja transitiva:
  • Verificação 1: (a, c) e (c, d) devem implicar (a, d). Não está em R', então adicionamos (a, d).
  • Verificação 2: (b, d) e (d, c) devem implicar (b, c). Já está em R'.
  • Verificação 3: (b, d) e (d, d) devem implicar (b, d). Já está em R'.
  • Verificação 4: (d, d) e (d, c) devem implicar (d, c). Já está em R'.
  • Verificação 5: Outras combinações já estão satisfeitas.

Passo 8

Adicionamos o par (a, d). Agora, a relação fica:
R'' = R' cup , (a, d) , = , (a, b), (b, b), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c), (e, d), (a, c), (b, d), (d, d), (a, d) ,

Passo 9

Vamos verificar novamente se a relação R'' é transitiva:
  • Verificação 1: (a, d) e (d, c) devem implicar (a, c). Já está em R''.
  • Verificação 2: (a, c) e (c, d) devem implicar (a, d). Já está em R''.
  • Verificação 3: (a, d) e (d, d) devem implicar (a, d). Já está em R''.
  • Verificação 4: Todas as outras combinações também estão satisfeitas.

Passo 10

Não há mais pares para adicionar, então a relação R'' é o fecho transitivo de R.

Resposta

O fecho transitivo de R é
R^+ = , (a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d), (d, c), (d, d), (e, d) ,

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