A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é descrita por
. Determine para esta onda: a) a amplitude; b) o comprimento de onda; c) a frequência; d) a velocidade de propagação; e) o sentido de propagação; f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda; g) o módulo da aceleração transversal máxima em qualquer ponto da corda.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma equação que descreve uma onda transversal numa corda muito longa:
A matéria aqui é sobre ondas, mais especificamente ondas transversais. Para resolver as questões, vamos precisar entender conceitos como amplitude, comprimento de onda, frequência, velocidade de propagação, sentido de propagação, velocidade transversal máxima e aceleração transversal máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a amplitude da onda. A amplitude é o valor máximo que a função y(x, t) atinge, ou seja, a altura máxima da onda em relação à posição de equilíbrio. Na nossa equação, a amplitude está bem direta:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o comprimento de onda. O comprimento de onda (
) é a distância entre dois pontos consecutivos que estão na mesma fase, como de um pico ao próximo pico. Na equação, o termo que multiplica o
dentro do cosseno é:
Na nossa equação:
Então, comparando:
Logo:
Passo 4
Vamos para a frequência (
) da onda. A frequência é o número de oscilações completas que ocorrem em um segundo. O termo que multiplica o
na equação é:
Na nossa equação:
Comparando:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a velocidade de propagação (
) da onda. Essa velocidade relaciona-se com a frequência e o comprimento de onda pela fórmula:
Já temos
e
. Então:
Passo 6
O sentido de propagação da onda pode ser determinado observando o sinal entre
e
na equação. Se for
, a onda se propaga no sentido positivo do eixo
. Se for
, no sentido negativo. Na nossa equação temos:
Como é
, a onda está se movendo no sentido positivo do eixo
.
Passo 7
Para encontrar a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda, usamos a derivada da função
em relação ao tempo
. A velocidade é dada por:
A velocidade máxima ocorre quando o seno é igual a 1:
Passo 8
Por fim, para o módulo da aceleração transversal máxima, derivamos a velocidade
em relação ao tempo
, ou seja, a segunda derivada de
:
A aceleração máxima ocorre quando o cosseno é igual a 1:
Resposta
a) Amplitude:
b) Comprimento de onda:
c) Frequência:
d) Velocidade de propagação:
e) Sentido de propagação: positivo do eixo
f) Máxima velocidade transversal:
g) Módulo da aceleração transversal máxima:
b) Comprimento de onda:
c) Frequência:
d) Velocidade de propagação:
e) Sentido de propagação: positivo do eixo
f) Máxima velocidade transversal:
g) Módulo da aceleração transversal máxima:
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