A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é descrita por y(x, t)= (6,50 mm) cos 2 pi(x28,0 cm-t0,0360 s). Determine para esta onda: a) a amplitude; b) o comprimento de onda; c) a frequência; d) a velocidade de propagação; e) o sentido de propagação; f) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda; g) o módulo da aceleração transversal máxima em qualquer ponto da corda.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma equação que descreve uma onda transversal numa corda muito longa:
y(x, t) = (6,50 mm) cos (2pi(x28,0 cm - t0,0360 s))
A matéria aqui é sobre ondas, mais especificamente ondas transversais. Para resolver as questões, vamos precisar entender conceitos como amplitude, comprimento de onda, frequência, velocidade de propagação, sentido de propagação, velocidade transversal máxima e aceleração transversal máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude da onda. A amplitude é o valor máximo que a função y(x, t) atinge, ou seja, a altura máxima da onda em relação à posição de equilíbrio. Na nossa equação, a amplitude está bem direta:
Amplitude = 6,50 mm

Passo 3

Agora, vamos encontrar o comprimento de onda. O comprimento de onda ( k = 2pilambda ) é a distância entre dois pontos consecutivos que estão na mesma fase, como de um pico ao próximo pico. Na equação, o termo que multiplica o 2pi x28,0 cm dentro do cosseno é:
2pilambda = 2pi28,0 cm
Na nossa equação:
lambda = 28,0 cm
Então, comparando:
Logo:

Passo 4

Vamos para a frequência ( omega = 2pi f ) da onda. A frequência é o número de oscilações completas que ocorrem em um segundo. O termo que multiplica o 2pi t0,0360 s na equação é:
2pi f = 2pi0,0360 s
Na nossa equação:
f = 10,0360 s approx 27,78 Hz
Comparando:
Simplificando:

Passo 5

Agora, a velocidade de propagação ( v = f lambda ) da onda. Essa velocidade relaciona-se com a frequência e o comprimento de onda pela fórmula:
v = 27,78 Hz times 0,28 m approx 7,78 m/s
Já temos e . Então:

Passo 6

O sentido de propagação da onda pode ser determinado observando o sinal entre x28,0 cm - t0,0360 s e na equação. Se for , a onda se propaga no sentido positivo do eixo . Se for , no sentido negativo. Na nossa equação temos:
Como é , a onda está se movendo no sentido positivo do eixo .

Passo 7

Para encontrar a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda, usamos a derivada da função vy = partial ypartial t = -6,50 mm times 2pi times 10,0360 s times sin(2pi(x28,0 cm - t0,0360 s)) em relação ao tempo vmáx = 6,50 mm times 2pi times 10,0360 s approx 6,50 times 2 times 3,1416 times 27,78 approx 6,50 times 175,929 approx 1143,53 mm/s approx 1,14 m/s . A velocidade é dada por:
A velocidade máxima ocorre quando o seno é igual a 1:
á

Passo 8

Por fim, para o módulo da aceleração transversal máxima, derivamos a velocidade ay = partial^2 ypartial t^2 = -6,50 mm times 2pi times 10,0360 s times 2pi times 10,0360 s times cos(2pi(x28,0 cm - t0,0360 s)) em relação ao tempo amáx = 6,50 mm times (2pi times 10,0360 s)^2 approx 6,50 times (175,929)^2 approx 6,50 times 30930 approx 201,045 mm/s^2 approx 201,05 m/s^2 , ou seja, a segunda derivada de :
A aceleração máxima ocorre quando o cosseno é igual a 1:
á

Resposta

a) Amplitude:
b) Comprimento de onda:
c) Frequência:
d) Velocidade de propagação:
e) Sentido de propagação: positivo do eixo
f) Máxima velocidade transversal:
g) Módulo da aceleração transversal máxima:

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