Coleta-se uma amostra de 12 observações de uma variável aleatória X com distribuição Normal de média 4 e variância 4. Determine a probabilidade da média amostral: Ser inferior a 4,5 .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de 12 observações de uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média e variância . Precisamos encontrar a probabilidade de que a média dessa amostra seja inferior a 4,5. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e a distribuição Normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição da média amostral. Se é Normal com média e variância , a média amostral de uma amostra de tamanho também segue uma distribuição Normal com média e variância .

Passo 3

Vamos calcular a média e a variância da média amostral:
muX = mu = 4
sigmaX^2 = sigma^2n = 412 = 13
Então, a média amostral tem distribuição Normal com média 4 e desvio padrão .

Passo 4

Queremos encontrar Z = X - muXsigmaX . Para isso, vamos padronizar a variável usando a fórmula:
Z = 4,5 - 4raiz13 = 0,5raiz13 = 0,5 times raiz3 approx 0,866
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a P(Z < 0,866) approx 0,8078 na tabela da distribuição Normal padrão. Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:

Resposta

A probabilidade de que a média amostral seja inferior a 4,5 é aproximadamente 80,78%.

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