Coleta-se uma amostra de 12 observações de uma variável aleatória X com distribuição Normal de média 4 e variância 4. Determine a probabilidade da média amostral: Estar entre 2 e 4,5 .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade envolvendo a distribuição Normal. Temos uma amostra de 12 observações de uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média e variância . Precisamos determinar a probabilidade de que a média amostral esteja entre 2 e 4,5. Para isso, vamos utilizar conceitos de distribuição da média amostral e a Teoria Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se segue uma distribuição Normal com média e variância , então a média amostral também segue uma distribuição Normal. A média da distribuição da média amostral é igual à média da população, ou seja, .

Passo 3

A variância da média amostral é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra sigma^2X = sigma^2n = 412 = 13 . Então, a variância de sigmaX = raiz13 approx 0,577 é:
Portanto, o desvio padrão da média amostral é:

Passo 4

Agora, queremos encontrar Z = X - muXsigmaX . Para isso, vamos padronizar a variável utilizando a transformação para a distribuição normal padrão :

Passo 5

Calculamos os valores de Z1 = 2 - 40,577 approx -20,577 approx -3,464 correspondentes a Z2 = 4,5 - 40,577 approx 0,50,577 approx 0,866 e :

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade que P(Z <= 0,866) approx 0,8078 esteja entre P(Z <= -3,464) approx 0,0003 e P(-3,464 <= Z <= 0,866) = 0,8078 - 0,0003 = 0,8075 . Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística, encontramos:
Então, a probabilidade desejada é:

Resposta

A probabilidade de que a média amostral esteja entre 2 e 4,5 é aproximadamente 80,75%.

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