Uma colher de chá pode ser aproximada como uma haste de área de seção transversal constante. A condutividade térmica, o comprimento, o perímetro e a área da seção transversal da colher são, k, e A , respectivamente. Os coeficientes de transferência de calor por convecção são h e h0. Metade da colher está no chá quente. Assumindo que a temperatura do chá permanece constante e que os finais da colher estão isolados, encontre a distribuição de temperatura na colher.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma colher de chá que tá metade imersa no chá quente e quer descobrir como a temperatura varia ao longo dela. O que tá rolando aqui envolve condutividade térmica e convecção, que são partes da termodinâmica. Vamos precisar usar a equação de condução de calor e considerar como o calor se troca com o ambiente (no chá e no ar).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condutividade térmica. Ela indica o quanto um material conduz calor. A equação básica para condução de calor em uma haste com área de seção transversal constante é dada por:
Mas vamos precisar ajustar isso com as condições de convecção nos lados da colher.

Passo 3

Agora, vamos considerar a convecção, que é a transferência de calor entre a colher e o ambiente (chá ou ar). A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
í
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é o perímetro da seção transversal,
  • í é a temperatura na superfície da colher,
  • é a temperatura constante do chá.

Passo 4

Sabendo que metade da colher está imersa no chá quente ( ) e os extremos estão isolados, precisamos equilibrar a condução de calor ao longo da colher com a convecção que ocorre nas partes expostas e imersas.
Isso nos leva a uma equação diferencial que relaciona a segunda derivada da temperatura com os coeficientes de convecção.

Passo 5

A equação geral fica:
Onde:
  • é a condutividade térmica,
  • é o coeficiente de convecção na parte imersa,
  • é o coeficiente de convecção na parte exposta.

Passo 6

Resolvendo essas equações diferenciais, obtemos a distribuição de temperatura ao longo da colher. Integrando e aplicando as condições de contorno (temperatura constante no chá e isolamento nos extremos), encontramos a expressão para .

Passo 7

Após resolver as integrais e aplicar as condições, a distribuição de temperatura na colher é dada por:
Onde e são constantes que determinamos usando as condições de contorno e é uma constante relacionada aos coeficientes de convecção e condutividade.

Resposta

A distribuição de temperatura ao longo da colher é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições do problema, e .

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