Uma colher de chá pode ser aproximada como uma haste de área de seção transversal constante. A condutividade térmica, o comprimento, o perímetro e a área da seção transversal da colher são, k,
e A , respectivamente. Os coeficientes de transferência de calor por convecção são h e h0. Metade da colher está no chá quente. Assumindo que a temperatura do chá permanece constante e que os finais da colher estão isolados, encontre a distribuição de temperatura na colher.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma colher de chá que tá metade imersa no chá quente e quer descobrir como a temperatura varia ao longo dela. O que tá rolando aqui envolve condutividade térmica e convecção, que são partes da termodinâmica. Vamos precisar usar a equação de condução de calor e considerar como o calor se troca com o ambiente (no chá e no ar).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condutividade térmica. Ela indica o quanto um material conduz calor. A equação básica para condução de calor em uma haste com área de seção transversal constante é dada por:
Mas vamos precisar ajustar isso com as condições de convecção nos lados da colher.
Passo 3
Agora, vamos considerar a convecção, que é a transferência de calor entre a colher e o ambiente (chá ou ar). A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção, -
é o perímetro da seção transversal, -
é a temperatura na superfície da colher, -
é a temperatura constante do chá.
Passo 4
Sabendo que metade da colher está imersa no chá quente (
) e os extremos estão isolados, precisamos equilibrar a condução de calor ao longo da colher com a convecção que ocorre nas partes expostas e imersas.
Isso nos leva a uma equação diferencial que relaciona a segunda derivada da temperatura com os coeficientes de convecção.
Passo 5
A equação geral fica:
Onde:
-
é a condutividade térmica, -
é o coeficiente de convecção na parte imersa, -
é o coeficiente de convecção na parte exposta.
Passo 6
Resolvendo essas equações diferenciais, obtemos a distribuição de temperatura
ao longo da colher. Integrando e aplicando as condições de contorno (temperatura constante no chá e isolamento nos extremos), encontramos a expressão para
.
Passo 7
Após resolver as integrais e aplicar as condições, a distribuição de temperatura na colher é dada por:
Onde
e
são constantes que determinamos usando as condições de contorno e
é uma constante relacionada aos coeficientes de convecção e condutividade.
Resposta
A distribuição de temperatura ao longo da colher é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições do problema, e
.