Uma colher de chá pode ser aproximada como uma haste de área de seção transversal constante. A condutividade térmica, o comprimento, o perímetro e a área da seção transversal da colher são, k,
e A , respectivamente. Os coeficientes de transferência de calor por convecção são h e h0. Metade da colher está no chá quente. Assumindo que a temperatura do chá permanece constante e que os finais da colher estão isolados, encontre a distribuição de temperatura na colher.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma colher de chá que tá metade imersa no chá quente e quer descobrir como a temperatura varia ao longo dela. O que tá rolando aqui envolve condutividade térmica e convecção, que são partes da termodinâmica. Vamos precisar usar a equação de condução de calor e considerar como o calor se troca com o ambiente (no chá e no ar).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condutividade térmica. Ela indica o quanto um material conduz calor. A equação básica para condução de calor em uma haste com área de seção transversal constante é dada por:
Mas vamos precisar ajustar isso com as condições de convecção nos lados da colher.
Passo 3
Agora, vamos considerar a convecção, que é a transferência de calor entre a colher e o ambiente (chá ou ar). A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção, -
é o perímetro da seção transversal, -
é a temperatura na superfície da colher, -
é a temperatura constante do chá.
Passo 4
Sabendo que metade da colher está imersa no chá quente (
) e os extremos estão isolados, precisamos equilibrar a condução de calor ao longo da colher com a convecção que ocorre nas partes expostas e imersas.
Isso nos leva a uma equação diferencial que relaciona a segunda derivada da temperatura com os coeficientes de convecção.
Passo 5
A equação geral fica:
Onde:
-
é a condutividade térmica, -
é o coeficiente de convecção na parte imersa, -
é o coeficiente de convecção na parte exposta.
Passo 6
Resolvendo essas equações diferenciais, obtemos a distribuição de temperatura
ao longo da colher. Integrando e aplicando as condições de contorno (temperatura constante no chá e isolamento nos extremos), encontramos a expressão para
.
Passo 7
Após resolver as integrais e aplicar as condições, a distribuição de temperatura na colher é dada por:
Onde
e
são constantes que determinamos usando as condições de contorno e
é uma constante relacionada aos coeficientes de convecção e condutividade.
Resposta
A distribuição de temperatura ao longo da colher é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições do problema, e
.
Exercícios relacionados
Considere um recipiente de 4 L preenchido com dióxido de carbono a
e 5 atm . Um tampão de borracha circular de 20 mm de diâmetro e 10 mm de espessura é usado para conter o gás dentro do recipiente. Determine a taxa de perda de massa de gás dióxido de carbono do recipiente através do tampão. Para esta situação considere: D_CO2/B = 1,1 x
. Solubilidade do CO2 na borracha
.atm e Massa molar do CO2 44
.
Um tubo de stefan de 3 cm de diâmetro é usado para medir o coeficiente de difusão binário de vapor de água no ar a
. O experimento ocorreu a uma altitude de 1600 m , em que a pressão atmosférica é de
. O tudo é parcialmente preenchido com água, e a distância entre a superfície da água e a extremidade aberta do tubo é 40 cm . O ar seco é soprado sobre a extremidade aberta, do tubo, de forma que o vapor de água que sobe até o topo seja removido imediatamente e a concentração de vapor na parte superior do tubo seja zero. Em 15 dias de operação contínua a pressão e a temperatura constante, a quantidade de água evaporada é medida como sendo 1,23g. Determine o coeficiente de difusão do vapor de água no ar a
e
. Dados: pressão de saturação da água a
é
. Massa molar da água
.
Sistema com bombeamento. Deseja-se transportar água a
com vazão de
do reservatório S para o reservatório D. A tubulação é de aço comercial com diâmetro de
Schedule 40, com seis joelhos padrão
, sendo um na linha de sucção e cinco na descarga e uma válvula gaveta, aberta, que se encontra instalada na linha de descarga. Calcule as perdas nas linhas de sucção e de descarga e a potência útil da bomba.
Uma esfera de naftalina de 20 mm de diâmetro é suspensa em um ambiente com ar estagnado, sofrendo sublimação em um processo lento controlado pela difusão. Sabendo que a difusividade mássica da naftalina no ar é
, em um ambiente a 750 C e
(101kPs). Sabe-se que sob estas condições, a pressão de vapor da naftalina é de 660 Pa, a sua massa específica é de
e o peso molecular é de
atm.
. Após 49 h , exposta ao ar, qual será o diâmetro final da naftalina?