Colocam-se 4 números positivos e 6 negativos em 10 memórias de uma máquina de calcular (um em cada memória). Efetua-se o produto dos conteúdos de 4 memórias selecionadas ao acaso. Qual a probabilidade de que seja positivo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 10 memórias em uma máquina de calcular: 4 com números positivos e 6 com números negativos. A gente vai escolher 4 memórias de forma aleatória e multiplicar os números que estão nelas. A pergunta é: qual a probabilidade de que o resultado dessa multiplicação seja positivo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória e probabilidade. Vamos calcular:
- O total de maneiras de escolher 4 memórias dentre as 10.
- O número de maneiras em que a multiplicação dos números escolhidos resulta em um número positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de combinações possíveis de escolher 4 memórias entre as 10 disponíveis. Isso se faz usando a combinação, que é representada por:
Onde:
-
é o total de itens (no caso, 10 memórias). -
é o número de itens que queremos escolher (no caso, 4 memórias).
Então:
Portanto, existem 210 maneiras diferentes de escolher 4 memórias.
Passo 3
Agora, vamos pensar em quando a multiplicação dos 4 números será positiva. Isso acontece quando o número de números negativos escolhidos é par (ou seja, 0, 2 ou 4 negativos). Vamos analisar cada caso:
-
0 negativos (todas positivas):
- Escolhemos 4 memórias entre as 4 positivas.
- Número de combinações:
-
2 negativos e 2 positivos:
- Escolhemos 2 memórias entre as 6 negativas e 2 memórias entre as 4 positivas.
- Número de combinações:
-
4 negativos:
- Escolhemos 4 memórias entre as 6 negativas.
- Número de combinações:
Passo 4
Agora, vamos somar todas as combinações que resultam em um produto positivo:
Então, há 106 maneiras de escolher 4 memórias que resultam em um produto positivo.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a probabilidade de que o produto seja positivo, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações:
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 2:
Resposta
A probabilidade de que o produto seja positivo é aproximadamente 0,5048 ou 50,48%.
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