Colocam-se 4 números positivos e 6 negativos em 10 memórias de uma máquina de calcular (um em cada memória). Efetua-se o produto dos conteúdos de 4 memórias selecionadas ao acaso. Qual a probabilidade de que seja positivo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 10 memórias em uma máquina de calcular: 4 com números positivos e 6 com números negativos. A gente vai escolher 4 memórias de forma aleatória e multiplicar os números que estão nelas. A pergunta é: qual a probabilidade de que o resultado dessa multiplicação seja positivo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória e probabilidade. Vamos calcular:
  1. O total de maneiras de escolher 4 memórias dentre as 10.
  2. O número de maneiras em que a multiplicação dos números escolhidos resulta em um número positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de combinações possíveis de escolher 4 memórias entre as 10 disponíveis. Isso se faz usando a combinação, que é representada por:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde:
  • C(10, 4) = 10!4!(10-4)! = 10!4!6! = 210 é o total de itens (no caso, 10 memórias).
  • é o número de itens que queremos escolher (no caso, 4 memórias).
Então:
Portanto, existem 210 maneiras diferentes de escolher 4 memórias.

Passo 3

Agora, vamos pensar em quando a multiplicação dos 4 números será positiva. Isso acontece quando o número de números negativos escolhidos é par (ou seja, 0, 2 ou 4 negativos). Vamos analisar cada caso:
  1. 0 negativos (todas positivas):
    • Escolhemos 4 memórias entre as 4 positivas.
    • Número de combinações:
  2. 2 negativos e 2 positivos:
    • Escolhemos 2 memórias entre as 6 negativas e 2 memórias entre as 4 positivas.
    • Número de combinações:
  3. 4 negativos:
    • Escolhemos 4 memórias entre as 6 negativas.
    • Número de combinações:

Passo 4

Agora, vamos somar todas as combinações que resultam em um produto positivo:
1 , (0 negativos) + 90 , (2 negativos) + 15 , (4 negativos) = 106
Então, há 106 maneiras de escolher 4 memórias que resultam em um produto positivo.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a probabilidade de que o produto seja positivo, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações:
Probabilidade = Combinações favoráveisTotal de combinações = 106210 çõáçõ
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 2:
106210 = 53105 approx 0,5048

Resposta

A probabilidade de que o produto seja positivo é aproximadamente 0,5048 ou 50,48%.

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