Uma coluna de madeira de seção quadrada 20 times 20 ( cm^2 ) com classe de resistência D50, sob uma umidade relativa de 70%, está sujeita aos seguintes esforços axiais de compressão:
Ng=52 kN (carga permanente);
Nq=65 kN (sobrecarga, com predominância de pesos e equipamentos fixos).
Verifique o ELU para:
L=3 m;
Considere uma classe de carregamento de longa duração; combinação de ações de construção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma coluna de madeira com seção quadrada de 20 cm × 20 cm, classe de resistência D50, e está sob umidade relativa de 70%. Essa coluna está recebendo uma carga permanente de 52 kN e uma sobrecarga de 65 kN. O objetivo é verificar, pelo método do Estado Limite Último (ELU), se essa coluna aguenta os esforços aplicados considerando um comprimento de 3 metros e uma classe de carregamento de longa duração. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação de ações, fatores de segurança e resistência de materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos combinar as cargas permanentes (N_g) e as sobrecargas (N_q) usando os fatores de carga apropriados para garantir a segurança estrutural. Em geral, no ELU, aplicamos fatores maiores para sobrecargas para levar em conta incertezas.

Passo 3

Considerando que estamos lidando com uma classe de carregamento de longa duração, os fatores de carga típicos são:
  • γ_g (fator para carga permanente) = 1,2
  • γ_q (fator para sobrecarga) = 1,5
Assim, a carga de projeto (N_d) é calculada por:
Nd = gammag cdot Ng + gammaq cdot Nq

Passo 4

Substituindo os valores:
Nd = 1,2 times 52,kN + 1,5 times 65,kN
Nd = 62,4,kN + 97,5,kN
Nd = 159,9,kN
Então, a carga de projeto é aproximadamente 160 kN.

Passo 5

Agora, vamos calcular a capacidade de carga da coluna (N_rd). Para isso, precisamos determinar a resistência de compressão da madeira e considerar possíveis efeitos de flambagem devido ao comprimento da coluna.
A resistência de compressão paralela às fibras ($ f_{cd} $) pode ser calculada usando:
fcd
onde:
- $ f_c $ é a resistência característica à compressão.
- $ \gamma_m $ é o coeficiente de segurança (geralmente 1,3 para materiais de construção).
Para a classe D50, assumindo uma resistência característica padrão da madeira, digamos $ f_c = 15,\mathrm{MPa} $ (esse valor pode variar conforme normas específicas).
Então:
fcd = fcgammam

Passo 6

A área da seção transversal (A) da coluna é:
A = 20,cm times 20,cm = 400,cm^2 = 0,04,m^2
Então, a capacidade de carga axial sem considerar flambagem é:
Nrd = fcd times A
Nrd = 11,54,MPa times 0,04,m^2
Nrd = 11,54 times 10^6,N/m^2 times 0,04,m^2
Nrd = 461600,N = 461,6,kN

Passo 7

Agora, precisamos verificar se a coluna está sujeita a flambagem. Para isso, calculamos o eixo de flambagem (eficiência de flambagem) usando o comprimento efetivo da coluna e o fator de esbeltez.
Primeiro, calculamos o módulo de inércia da seção transversal (I):
I = b times h^312
onde $ b = 0,20,\mathrm{m} $ e $ h = 0,20,\mathrm{m} $:
b = 0,20,m
h = 0,20,m
A eficiência de flambagem ($ \lambda $) é dada por:
I = 0,20 times (0,20)^312 = 0,20 times 0,00812
onde $ L = 3,\mathrm{m} $ e $ r $ é o raio de giração:
I = 0,001612 approx 0,000133,m^4
lambda
Então:
lambda = Lr
Consultando tabelas de eficiência para flambagem (considerando coeficientes de Euler), percebemos que para $ \lambda = 52 $, a eficiência $ \phi $ será menor que 1, indicando redução na capacidade devido a flambagem.

Passo 8

Para simplificar, vamos ajustar a capacidade de carga para considerar a flambagem. Supondo que a eficiência $ \phi = 0,6 $, temos:
phi = 0,6
Nrdajustado = phi times Nrd
Nrdajustado = 0,6 times 461,6,kN

Resposta

Comparando a carga de projeto $ N_d = 160,\mathrm{kN} $ com a capacidade ajustada $ N_{rd_ajustado} \approx 277,\mathrm{kN} $, vemos que:
Nd = 160,kN
Portanto, a coluna está segura segundo o critério de Estado Limite Último (ELU).

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