Uma coluna de perfil W310×125 (E=200 GPa ; sigmaa d m=250 MPa; Ix=27076 cm^4 ; Iy=8823 cm^4 ; A=159 cm^2) e comprimento L=4,5 m está engastada na base. A coluna suporta um carregamento aplicado no centroide P1=530 kN e um carregamento P2=180 kN aplicado a uma distância s=300 mm em relação ao centroide da coluna. Na direçâo da carga P2, a extremidade superior da coluna encontra-se livre; enquanto na outra direção perpendicular, a extremidade superior da coluna está apoiada. Determinar a máxima tensâo atuante na coluna. (4.0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma coluna com várias propriedades geométricas e materiais, além de cargas aplicadas de formas específicas. Nosso objetivo aqui é encontrar a máxima tensão que essa coluna vai experimentar.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com mecânica dos materiais, especificamente com a tensão resultante em colunas sujeitas a cargas axiais e momentos fletores.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas de tensão axial.
  • Fórmulas de tensão de flexão.
  • Combinação dessas tensões para encontrar a máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as cargas atuantes na coluna. Temos duas cargas principais:
  • P₁ = 530 kN: aplicada no centroide da coluna.
  • P₂ = 180 kN: aplicada a uma distância s = 300 mm (ou 0,3 m) do centroide.
Além disso, a coluna tem um comprimento L = 4,5 m e está engastada na base, o que significa que está fixa nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular a força axial total na coluna. Como P₁ está no centroide, ela atua diretamente ao longo do eixo da coluna sem causar momento de flecha. Já a carga P₂, por estar deslocada, vai gerar um momento de flexão.
Força Axial Total (N):
N = P₁ + P₂ = 530, kN + 180, kN = 710, kN

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento fletor causado pela carga P₂. Como a coluna está fixa na base, o momento no ponto de aplicação da carga P₂ será:
M = P₂ times s = 180, kN times 0,3, m = 54, kNcdotm

Passo 5

Com o momento fletor, podemos calcular a tensão de flexão usando a fórmula:
sigmaf<=xão = M times cI ã
Onde:
  • M é o momento fletor.
  • c é a distância do centroide até a fibra mais externa.
  • I é o momento de inércia.
Assumindo que estamos considerando a direção com maior inércia (Iₓ = 27076, cm^4 = 2.7076 \times 10^{-3}, m^4), e a distância c pode ser aproximada pela altura da seção dividida por 2. Como não temos a altura, vamos assumir que c está relacionada com a categoria do perfil W.

Passo 6

Agora, calculamos a tensão axial:
sigmaaxial = NA
Onde A = 159, cm^2 = 0.0159, m^2.
Convertendo N para Pa:
N = 710, kN = 710 times 10^3, N
Então,
sigmaaxial = 710 times 10^30.0159 approx 44.65 times 10^6, Pa = 44.65, MPa

Passo 7

Calculando a tensão de flexão:
sigmaf<=xão = 54 times 10^3, Ncdotm times c2.7076 times 10^-3, m^4 ã
Sem o valor exato de c, vamos considerar uma estimativa típica para um perfil W310x125, onde c ≈ 0.155 m.
Então,
sigmaf<=xão = 54 times 10^3 times 0.1552.7076 times 10^-3 approx 3.09 times 10^6, Pa = 3.09, MPa ã

Passo 8

Agora, a tensão total na coluna será a soma da tensão axial e da tensão de flexão:
sigmatotal = sigmaaxial + sigmaf<=xão = 44.65, MPa + 3.09, MPa = 47.74, MPa ã

Resposta

A máxima tensão atuante na coluna é aproximadamente 47,74 MPa.

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