Uma coluna de resina de troca iônica é utilizada como pré-tratamento a um processo de geração de energia. A água alimentada entra na coluna a uma temperatura de 60^circ C e escoa na coluna de cima para baixo com vazão de 25 US gal/min por ft^3 de recheio. A coluna possui diâmetro de 3 ft e altura de 8 ft. O recheio, constituído de partículas cilíndricas de diâmetro igual a 2 mm e altura de 3 mm, forma um leito de porosidade igual a 0,45 e repousa no interior da coluna sobre uma placa porosa que possui espessura de 1 cm, porosidade de 0,45 e permeabilidade de 0,00018 cm^2. Calcule a potência da bomba (rend =75 % ) necessária à operação do sistema.
Dados: mu(T=60^circ C)=0,5.10^-3 Pa.s , rho(T=60^circ C)=983,2 Kg / m^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma coluna de resina de troca iônica usada no pré-tratamento para geração de energia. A gente precisa calcular a potência da bomba necessária para operar esse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de fluidos, como porosidade, permeabilidade e perda de carga em leitos e placas porosas. Vamos precisar das fórmulas de Darcy e Ergun para calcular as perdas de carga e, depois, a fórmula da potência da bomba considerando a eficiência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Vazão: 25 US gal/min por ft³ de recheio.
  • Diâmetro da coluna: 3 ft.
  • Altura da coluna: 8 ft.
  • Diâmetro das partículas: 2 mm.
  • Altura das partículas: 3 mm.
  • Porosidade do leito: 0,45.
  • Placa porosa: espessura 1 cm, porosidade 0,45, permeabilidade 0,00018 cm².
  • Viscosidade da água a 60°C: 0,5 × 10⁻³ Pa.s.
  • Densidade da água a 60°C: 983,2 kg/m³.
  • Eficiência da bomba: 75%.

Passo 3

Vamos começar convertendo todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
1 US gal = 3,78541 litros
1 ft = 0,3048 m
1 cm = 0,01 m
Então:
  • Vazão: 25 gal/min × 3,78541 L/gal = 94,63525 L/min por ft³
    Convertendo para m³/s:
    94,63525 L/min = 0,09463525 m³/min = 0,09463525 / 60 ≈ 0,001577 m³/s por ft³
  • Diâmetro da coluna: 3 ft × 0,3048 m/ft ≈ 0,9144 m
  • Altura da coluna: 8 ft × 0,3048 m/ft ≈ 2,4384 m
  • Diâmetro das partículas: 2 mm = 0,002 m
  • Altura das partículas: 3 mm = 0,003 m
  • Espessura da placa: 1 cm = 0,01 m

Passo 4

Vamos calcular a área da seção transversal da coluna:
Área = π × (diâmetro/2)²
Área = π × (0,9144 / 2)² ≈ π × (0,4572)² ≈ π × 0,209 ≈ 0,657 m²
Agora, a vazão total na coluna:
Vazão total = Vazão por ft³ × Volume do leito
Volume do leito = Área × Altura = 0,657 m² × 2,4384 m ≈ 1,603 m³
Vazão total = 0,001577 m³/s/ft³ × 1,603 m³ ≈ 0,00253 m³/s

Passo 5

Vamos calcular a perda de carga no leito usando a equação de Ergun:
ΔP = ((150 * μ * (1 - ε)^2) / (d_p^2 * ε^3)) * (v) + ((1,75 * ρ * (1 - ε)) / (d_p * ε^3)) * (v²)
Onde:
  • μ = 0,5 × 10⁻³ Pa.s
  • ρ = 983,2 kg/m³
  • ε = 0,45
  • d_p = 0,002 m
  • v = velocidade superficial
Primeiro, calculamos a velocidade superficial:
v = Vazão / Área
v = 0,00253 m³/s / 0,657 m² �� 0,00385 m/s
Agora, substituímos na equação de Ergun:
ΔP_leito = ((150 * 0,5e-3 * (1 - 0,45)^2) / (0,002² * 0,45³)) * 0,00385 + ((1,75 * 983,2 * (1 - 0,45)) / (0,002 * 0,45³)) * (0,00385)^2
Vamos calcular cada termo separadamente:
Termo 1:
= (150 * 0,0005 * 0,3025) / (0,000004 * 0,091125) * 0,00385
= (0,0226875) / (0,0000003645) * 0,00385
≈ 62288,89 * 0,00385 ≈ 240
Termo 2:
= (1,75 * 983,2 * 0,55) / (0,002 * 0,091125) * 0,0000148
= (944,96) / (0,00018225) * 0,0000148
≈ 5,184 × 10⁶ * 0,0000148 ≈ 76,6
Então, ΔP_leito ≈ 240 + 76,6 ≈ 316,6 Pa

Passo 6

Agora, vamos calcular a perda de carga na placa porosa usando a lei de Darcy:
ΔP = (μ * L * v) / (k * ε²)
Onde:
  • μ = 0,5 × 10⁻³ Pa.s
  • L = 0,01 m
  • v = velocidade superficial (já calculada: 0,00385 m/s)
  • k = permeabilidade = 0,00018 cm² = 0,00018 × 1e-4 m² = 1,8e-8 m²
  • ε = 0,45
Substituindo:
ΔP_plaque = (0,0005 * 0,01 * 0,00385) / (1,8e-8 * 0,45²)
= (1.925e-7) / (1,8e-8 * 0,2025)
= (1.925e-7) / (3,645e-9)
≈ 52,83 Pa

Passo 7

Agora, somamos as perdas de carga:
ΔP_total = ΔP_leito + ΔP_plaque
ΔP_total ≈ 316,6 + 52,83 ≈ 369,4 Pa

Passo 8

Com a perda de carga total, podemos calcular a potência da bomba usando a fórmula:
P = (ΔP * Q) / η
Onde:
  • ΔP = 369,4 Pa
  • Q = vazão = 0,00253 m³/s
  • η = eficiência = 0,75
Substituindo:
P = (369,4 * 0,00253) / 0,75
≈ (0,934) / 0,75
≈ 1,245 W

Resposta

A potência da bomba necessária à operação do sistema é aproximadamente 1,25 watts.

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