Uma coluna de resina de troca iônica é utilizada como pré-tratamento a um processo de geração de energia. A água alimentada entra na coluna a uma temperatura de
e escoa na coluna de cima para baixo com vazão de 25 US gal/min por
de recheio. A coluna possui diâmetro de
e altura de
. O recheio, constituído de partículas cilíndricas de diâmetro igual a
e altura de
, forma um leito de porosidade igual a 0,45 e repousa no interior da coluna sobre uma placa porosa que possui espessura de
, porosidade de 0,45 e permeabilidade de
. Calcule a potência da bomba (rend
) necessária à operação do sistema.
Dados:
Pa.s
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma coluna de resina de troca iônica usada no pré-tratamento para geração de energia. A gente precisa calcular a potência da bomba necessária para operar esse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de fluidos, como porosidade, permeabilidade e perda de carga em leitos e placas porosas. Vamos precisar das fórmulas de Darcy e Ergun para calcular as perdas de carga e, depois, a fórmula da potência da bomba considerando a eficiência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Vazão: 25 US gal/min por ft³ de recheio.
- Diâmetro da coluna: 3 ft.
- Altura da coluna: 8 ft.
- Diâmetro das partículas: 2 mm.
- Altura das partículas: 3 mm.
- Porosidade do leito: 0,45.
- Placa porosa: espessura 1 cm, porosidade 0,45, permeabilidade 0,00018 cm².
- Viscosidade da água a 60°C: 0,5 × 10⁻³ Pa.s.
- Densidade da água a 60°C: 983,2 kg/m³.
- Eficiência da bomba: 75%.
Passo 3
Vamos começar convertendo todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
1 US gal = 3,78541 litros
1 ft = 0,3048 m
1 cm = 0,01 m
1 ft = 0,3048 m
1 cm = 0,01 m
Então:
-
Vazão: 25 gal/min × 3,78541 L/gal = 94,63525 L/min por ft³
Convertendo para m³/s:
94,63525 L/min = 0,09463525 m³/min = 0,09463525 / 60 ≈ 0,001577 m³/s por ft³ -
Diâmetro da coluna: 3 ft × 0,3048 m/ft ≈ 0,9144 m
-
Altura da coluna: 8 ft × 0,3048 m/ft ≈ 2,4384 m
-
Diâmetro das partículas: 2 mm = 0,002 m
-
Altura das partículas: 3 mm = 0,003 m
-
Espessura da placa: 1 cm = 0,01 m
Passo 4
Vamos calcular a área da seção transversal da coluna:
Área = π × (diâmetro/2)²
Área = π × (0,9144 / 2)² ≈ π × (0,4572)² ≈ π × 0,209 ≈ 0,657 m²
Área = π × (0,9144 / 2)² ≈ π × (0,4572)² ≈ π × 0,209 ≈ 0,657 m²
Agora, a vazão total na coluna:
Vazão total = Vazão por ft³ × Volume do leito
Volume do leito = Área × Altura = 0,657 m² × 2,4384 m ≈ 1,603 m³
Volume do leito = Área × Altura = 0,657 m² × 2,4384 m ≈ 1,603 m³
Vazão total = 0,001577 m³/s/ft³ × 1,603 m³ ≈ 0,00253 m³/s
Passo 5
Vamos calcular a perda de carga no leito usando a equação de Ergun:
ΔP = ((150 * μ * (1 - ε)^2) / (d_p^2 * ε^3)) * (v) + ((1,75 * ρ * (1 - ε)) / (d_p * ε^3)) * (v²)
Onde:
- μ = 0,5 × 10⁻³ Pa.s
- ρ = 983,2 kg/m³
- ε = 0,45
- d_p = 0,002 m
- v = velocidade superficial
Primeiro, calculamos a velocidade superficial:
v = Vazão / Área
v = 0,00253 m³/s / 0,657 m² �� 0,00385 m/s
v = 0,00253 m³/s / 0,657 m² �� 0,00385 m/s
Agora, substituímos na equação de Ergun:
ΔP_leito = ((150 * 0,5e-3 * (1 - 0,45)^2) / (0,002² * 0,45³)) * 0,00385 + ((1,75 * 983,2 * (1 - 0,45)) / (0,002 * 0,45³)) * (0,00385)^2
Vamos calcular cada termo separadamente:
Termo 1:
= (150 * 0,0005 * 0,3025) / (0,000004 * 0,091125) * 0,00385
= (0,0226875) / (0,0000003645) * 0,00385
≈ 62288,89 * 0,00385 ≈ 240
= (150 * 0,0005 * 0,3025) / (0,000004 * 0,091125) * 0,00385
= (0,0226875) / (0,0000003645) * 0,00385
≈ 62288,89 * 0,00385 ≈ 240
Termo 2:
= (1,75 * 983,2 * 0,55) / (0,002 * 0,091125) * 0,0000148
= (944,96) / (0,00018225) * 0,0000148
≈ 5,184 × 10⁶ * 0,0000148 ≈ 76,6
= (1,75 * 983,2 * 0,55) / (0,002 * 0,091125) * 0,0000148
= (944,96) / (0,00018225) * 0,0000148
≈ 5,184 × 10⁶ * 0,0000148 ≈ 76,6
Então, ΔP_leito ≈ 240 + 76,6 ≈ 316,6 Pa
Passo 6
Agora, vamos calcular a perda de carga na placa porosa usando a lei de Darcy:
ΔP = (μ * L * v) / (k * ε²)
Onde:
- μ = 0,5 × 10⁻³ Pa.s
- L = 0,01 m
- v = velocidade superficial (já calculada: 0,00385 m/s)
- k = permeabilidade = 0,00018 cm² = 0,00018 × 1e-4 m² = 1,8e-8 m²
- ε = 0,45
Substituindo:
ΔP_plaque = (0,0005 * 0,01 * 0,00385) / (1,8e-8 * 0,45²)
= (1.925e-7) / (1,8e-8 * 0,2025)
= (1.925e-7) / (3,645e-9)
≈ 52,83 Pa
= (1.925e-7) / (1,8e-8 * 0,2025)
= (1.925e-7) / (3,645e-9)
≈ 52,83 Pa
Passo 7
Agora, somamos as perdas de carga:
ΔP_total = ΔP_leito + ΔP_plaque
ΔP_total ≈ 316,6 + 52,83 ≈ 369,4 Pa
ΔP_total ≈ 316,6 + 52,83 ≈ 369,4 Pa
Passo 8
Com a perda de carga total, podemos calcular a potência da bomba usando a fórmula:
P = (ΔP * Q) / η
Onde:
- ΔP = 369,4 Pa
- Q = vazão = 0,00253 m³/s
- η = eficiência = 0,75
Substituindo:
P = (369,4 * 0,00253) / 0,75
≈ (0,934) / 0,75
≈ 1,245 W
≈ (0,934) / 0,75
≈ 1,245 W
Resposta
A potência da bomba necessária à operação do sistema é aproximadamente 1,25 watts.
Exercícios relacionados
(25 pontos) Considere o campo de escoamento com velocidade
, em que
e
, e as coordenadas são dadas em metros. Sabendo-se que a massa específica é
, e que a distribuição das forças de campo é
, determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto
, assumindo que este escoamento é não viscoso.
(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde
e
, y e z são dados em metros, e
em segundos, determine:
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto , no instante
.
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto
Um filtro-prensa em escala piloto foi operado com queda de pressão constante para a filtração de uma suspensão de carbonato de cálcio em água. Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo. A área de filtração do filtro utilizado é de
, a massa de sólidos por unidade de volume de filtrado utilizada foi de
e a temperatura de operação foi de
. Encontre uma relação da resistividade da torta em função da queda de pressão.
Teste | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
|
6,7 | 16,2 | 28,2 | 36,3 | 49,1 |
Volume de <br> filtrado (L) | Tempo (s) | ||||
0,5 | 17,3 | 6,8 | 6,3 | 5,0 | |
1,0 | 41,3 | 19,0 | 14,0 | 11,5 | 9,4 |
1,5 | 72,0 | 34,6 | 24,2 | 19,8 | 16,3 |
2,0 | 108,3 | 53,4 | 37,0 | 30,1 | 24,6 |
2,5 | 152,1 | 76,0 | 51,7 | 42,5 | 34,7 |
3,0 | 201,7 | 102,0 | 69,0 | 56,8 | 46,1 |
3,5 | 131,2 | 88,8 | 73,0 | 59,0 | |
4,0 | 163,0 | 110,0 | 91,2 | 73,6 | |
4,5 | 134,0 | 111,0 |
|
||
5,0 | 160,0 | 156,8 | |||
5,5 | 182,5 | ||||
6,0 |
Dados:
Pa.s,
Explique o significado físico da decomposição de Reynolds.