Uma coluna de resina de troca iônica é utilizada como pré-tratamento a um processo de geração de energia. A água alimentada entra na coluna a uma temperatura de e escoa na coluna de cima para baixo com vazão de 25 US gal/min por de recheio. A coluna possui diâmetro de e altura de . O recheio, constituído de partículas cilíndricas de diâmetro igual a e altura de , forma um leito de porosidade igual a 0,45 e repousa no interior da coluna sobre uma placa porosa que possui espessura de , porosidade de 0,45 e permeabilidade de . Calcule a potência da bomba (rend ) necessária à operação do sistema.
Dados: Pa.s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma coluna de resina de troca iônica usada no pré-tratamento para geração de energia. A gente precisa calcular a potência da bomba necessária para operar esse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de fluidos, como porosidade, permeabilidade e perda de carga em leitos e placas porosas. Vamos precisar das fórmulas de Darcy e Ergun para calcular as perdas de carga e, depois, a fórmula da potência da bomba considerando a eficiência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Vazão: 25 US gal/min por ft³ de recheio.
  • Diâmetro da coluna: 3 ft.
  • Altura da coluna: 8 ft.
  • Diâmetro das partículas: 2 mm.
  • Altura das partículas: 3 mm.
  • Porosidade do leito: 0,45.
  • Placa porosa: espessura 1 cm, porosidade 0,45, permeabilidade 0,00018 cm².
  • Viscosidade da água a 60°C: 0,5 × 10⁻³ Pa.s.
  • Densidade da água a 60°C: 983,2 kg/m³.
  • Eficiência da bomba: 75%.

Passo 3

Vamos começar convertendo todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
1 US gal = 3,78541 litros
1 ft = 0,3048 m
1 cm = 0,01 m
Então:
  • Vazão: 25 gal/min × 3,78541 L/gal = 94,63525 L/min por ft³
    Convertendo para m³/s:
    94,63525 L/min = 0,09463525 m³/min = 0,09463525 / 60 ≈ 0,001577 m³/s por ft³
  • Diâmetro da coluna: 3 ft × 0,3048 m/ft ≈ 0,9144 m
  • Altura da coluna: 8 ft × 0,3048 m/ft ≈ 2,4384 m
  • Diâmetro das partículas: 2 mm = 0,002 m
  • Altura das partículas: 3 mm = 0,003 m
  • Espessura da placa: 1 cm = 0,01 m

Passo 4

Vamos calcular a área da seção transversal da coluna:
Área = π × (diâmetro/2)²
Área = π × (0,9144 / 2)² ≈ π × (0,4572)² ≈ π × 0,209 ≈ 0,657 m²
Agora, a vazão total na coluna:
Vazão total = Vazão por ft³ × Volume do leito
Volume do leito = Área × Altura = 0,657 m² × 2,4384 m ≈ 1,603 m³
Vazão total = 0,001577 m³/s/ft³ × 1,603 m³ ≈ 0,00253 m³/s

Passo 5

Vamos calcular a perda de carga no leito usando a equação de Ergun:
ΔP = ((150 * μ * (1 - ε)^2) / (d_p^2 * ε^3)) * (v) + ((1,75 * ρ * (1 - ε)) / (d_p * ε^3)) * (v²)
Onde:
  • μ = 0,5 × 10⁻³ Pa.s
  • ρ = 983,2 kg/m³
  • ε = 0,45
  • d_p = 0,002 m
  • v = velocidade superficial
Primeiro, calculamos a velocidade superficial:
v = Vazão / Área
v = 0,00253 m³/s / 0,657 m² �� 0,00385 m/s
Agora, substituímos na equação de Ergun:
ΔP_leito = ((150 * 0,5e-3 * (1 - 0,45)^2) / (0,002² * 0,45³)) * 0,00385 + ((1,75 * 983,2 * (1 - 0,45)) / (0,002 * 0,45³)) * (0,00385)^2
Vamos calcular cada termo separadamente:
Termo 1:
= (150 * 0,0005 * 0,3025) / (0,000004 * 0,091125) * 0,00385
= (0,0226875) / (0,0000003645) * 0,00385
≈ 62288,89 * 0,00385 ≈ 240
Termo 2:
= (1,75 * 983,2 * 0,55) / (0,002 * 0,091125) * 0,0000148
= (944,96) / (0,00018225) * 0,0000148
≈ 5,184 × 10⁶ * 0,0000148 ≈ 76,6
Então, ΔP_leito ≈ 240 + 76,6 ≈ 316,6 Pa

Passo 6

Agora, vamos calcular a perda de carga na placa porosa usando a lei de Darcy:
ΔP = (μ * L * v) / (k * ε²)
Onde:
  • μ = 0,5 × 10⁻³ Pa.s
  • L = 0,01 m
  • v = velocidade superficial (já calculada: 0,00385 m/s)
  • k = permeabilidade = 0,00018 cm² = 0,00018 × 1e-4 m² = 1,8e-8 m²
  • ε = 0,45
Substituindo:
ΔP_plaque = (0,0005 * 0,01 * 0,00385) / (1,8e-8 * 0,45²)
= (1.925e-7) / (1,8e-8 * 0,2025)
= (1.925e-7) / (3,645e-9)
≈ 52,83 Pa

Passo 7

Agora, somamos as perdas de carga:
ΔP_total = ΔP_leito + ΔP_plaque
ΔP_total ≈ 316,6 + 52,83 ≈ 369,4 Pa

Passo 8

Com a perda de carga total, podemos calcular a potência da bomba usando a fórmula:
P = (ΔP * Q) / η
Onde:
  • ΔP = 369,4 Pa
  • Q = vazão = 0,00253 m³/s
  • η = eficiência = 0,75
Substituindo:
P = (369,4 * 0,00253) / 0,75
≈ (0,934) / 0,75
≈ 1,245 W

Resposta

A potência da bomba necessária à operação do sistema é aproximadamente 1,25 watts.

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Teste 1 2 3 4 5
) 6,7 16,2 28,2 36,3 49,1
Volume de <br> filtrado (L) Tempo (s)
0,5 17,3 6,8 6,3 5,0
1,0 41,3 19,0 14,0 11,5 9,4
1,5 72,0 34,6 24,2 19,8 16,3
2,0 108,3 53,4 37,0 30,1 24,6
2,5 152,1 76,0 51,7 42,5 34,7
3,0 201,7 102,0 69,0 56,8 46,1
3,5 131,2 88,8 73,0 59,0
4,0 163,0 110,0 91,2 73,6
4,5 134,0 111,0
5,0 160,0 156,8
5,5 182,5
6,0
Dados: Pa.s,
Explique o significado físico da decomposição de Reynolds.